2025洛谷D2T2省选模拟赛D2T2”wind“ 题解

2025洛谷D2T2省选模拟赛D2T2“wind” 题解

直接做 15 分。

考虑 $i,j$ 对询问的贡献，那么 $i,j$ 的答案将贡献到 $\mathrm{\forall }{n}_k\ge max(i,j),t_k\ge gcd(i,j)$ 的 $(n_k,t_k)$ 这相当于一个二维的矩阵加，直接二维差分即可。

做了太多大值域的题，看到二维就想扫描线，忘了甚至可以直接差分与前缀和。

复杂度 $\mathcal{O}(n^2+c)$。有 30 分。

现在要考虑将 $\phi (ij)$ 拆成 $\phi (i)\phi (j)$ 的形式。可以直接考虑作除法。

$\phi (n)=n\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p})$ 写成这种形式，比分解质因数的形式更利于推式子。

所以

$$\begin{array}{rl}\frac{\phi (ij)}{\phi (i)\phi (j)}& =\frac{\prod _{p|ij}(1-\frac{1}{p})}{\prod _{p|i}(1-\frac{1}{p})\prod _{p|j}(1-\frac{1}{p})}\\ & =\frac{1}{\prod _{p|gcd(i,j)}(1-\frac{1}{p})}\\ & =\frac{gcd(i,j)}{\phi (gcd(i,j)}\end{array}$$

于是：

有结论 $\phi (ij)=\frac{\phi (i)\phi (j)gcd(i,j)}{\phi (gcd(i,j))}$

令 $g(i)=f(i)\phi (i)$，原式可化为

$$\sum _{d=1}^t\frac{d}{\phi (d)}\sum _{u=1}^{n/d}\mu (u)(\sum _i^{n/(du)}g(idu){)}^2$$

直接枚举的计算次数为 $\sum _{i=1}^t\sum _{j=1}^{n/i}\frac{n}{ij}\approx \sum _{i=1}^t\frac{n}{i}\ln \frac{n}{i}<\ln n\sum _{i=1}^t\frac{n}{i}<n{\ln }^{2}n$

一个巧妙的分析复杂度。

发现 $t$ 仅仅限制了最外层枚举的上界，我们可以直接离线对 $t$ 扫描线。用 $30$ 分的贡献思路，$i$ 将贡献到 $\mathrm{\forall }n\ge ui$ 相当于单点修改区间求和。

为了”平衡复杂度“，使用分块做到 $\mathcal{O}(n{\ln }^2+c\sqrt{n})$。

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对于 $\phi (ij)=\frac{\phi (i)\phi (j)gcd(i,j)}{\phi (gcd(i,j))}$，左边是一个积性函数，右边是一堆积性函数的乘积也是积性函数，那么我们只要证明其在素数幂处相等即可。

设 $i=p^{k_1},j=p^{k_2}$，不妨令 $k_1<k_2$。

则 $\phi (ij)=(p-1)p^{k_1+k_2-1}$，$\frac{\phi (i)\phi (j)gcd(i,j)}{\phi (gcd(i,j))}=\frac{(p-1)p^{k_1-1}(p-1)p^{k_2-1}{p}^{k_1}}{(p-1)p^{k_1-1}}=(p-1)p^{k_1+k_2-1}$

两者相等，于是得证。