洛谷2025省选模拟赛D1T1“Ball” 题解

洛谷2025省选模拟赛D1T1“Ball” 题解

首先可以写出一个暴力的 dp ：

令 $f_{i,j}$ 表示有 $i$ 个选了一次的球和 $j$ 个选了大于一次的球的期望答案，有等式：

$$f_{i,j}=\frac{j}{n}{f}_{i,j}+\frac{n-i-j}{n}{f}_{i+1,j}+\frac{i}{n}{f}_{i-1,j+1}$$

进一步得 $f_{i,j}=\frac{n-i-j}{n-j}{f}_{i+1,j}+\frac{i}{n-j}{f}_{i-1,j+1}$

复杂度 $\mathcal{O}(m{n}^2)$。

概率期望dp不要怕遇到环，转移环的性质，反而往往是优化算法的关键。

发现每一次只有边界不同而转移方式相同于是套路的将过程反转，组合意义就是从”期望“变为”概率“，复杂度 $\mathcal{O}(n^2+nm)$。

发现高次方很神奇，考虑将其拆开，于是 $E(X^i)=\sum _{j=0}^i\{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\}j!E(\genfrac{}{}{0ex}{}{X}{j})$。

当看到计数里有组合数时，应该考虑用组合意义设计状态

$E(\genfrac{}{}{0ex}{}{X}{i})$ 表示从恰好选择一次的小球中选走 $i$ 个的方案数，令 $g_{i,j}$ 表示现在至少拿了一次的球有 $i$ 个，从中选走 $j$ 个球的期望方案数。 假设选择了 $k$ 个恰好拿了一次的球，并考虑转移：

• 这次拿了一个拿过多次的球，概率 $\frac{i-k}{n}$，转移到 $g_{i,j}$

• 这次拿了一个拿过一次但未被选走的球，概况 $\frac{k-j}{n}$，转移到 $g_{i,j}$

• 这次拿了一个被选走的球，这是不合法的，因为其既然能被选走，说明最终其也是仅被拿了一次。所以概率为 $\frac{j}{n}$，权值为 $0$。

• 这次拿了一个没有拿过的球并直接选走，概率 $\frac{n-i}{n}$，转移到 $g_{i+1,j+1}$

• 这次拿了一个没有拿过的球但不选走，概率 $\frac{n-i}{n}$，转移到 $g_{i+1,j}$

整理可得：

$$\begin{gathered} g_{i,j}\times \frac{n-i}{n-i+j}\to g_{i+1,j} \\ {g}_{i,j}\times \frac{n-i}{n-i+j}\to g_{i+1,j+1} \end{gathered}$$

复杂度 $\mathcal{O}(nm)$。

答案为 $E(X^i)=\sum _{j=0}^i\{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\}j!g_{n,j}$。

对于这道题就是把 "先算概率再乘组合数"的顺序换成了，通过转移一边算概率一边算组合数。

可能有小朋友在设计 $g$ 的时候把 $k$ （定义见上文）也会带上，变成：

$$\begin{gathered} g_{i,j,k}\times \frac{k-j}{n-i+k}\to g_{i,j,k-1} \\ {g}_{i,j,k}\times \frac{n-i}{n-i+k}\to g_{i+1,j,k} \\ {g}_{i,j,k}\times \frac{n-i}{n-i+k}\to g_{i+1,j+1,k} \end{gathered}$$

这是一个比较唐的行为因为明明可以直接：

把要求的那一坨设在一起，直接转移

如果真设错了并且没有意识到，我觉得难以通过数学推导手段改过来，如果真的想改我觉得也就只能：

通过设一个和式考虑整体转移，或者说通过添加自环改变权值。

设 $h_{i,j}=\sum _k{g}_{i,j,k}$：

首先我们将其还原（或者说通过添加自环改变权值）

$$\begin{gathered} g_{i,j,k}\times \frac{k-j}{n}\to g_{i,j,k-1} \\ {g}_{i,j,k}\times \frac{i-k}{n}\to g_{i,j,k} \\ {g}_{i,j,k}\times \frac{n-i}{n}\to g_{i+1,j,k} \\ {g}_{i,j,k}\times \frac{n-i}{n}\to g_{i+1,j+1,k} \end{gathered}$$

然后发现后两行不带 $k$。由于 $\to$ 是”贡献“的意思，我们可以直接替换为 $h$，对于左边，如果转移系数与 k 无关，我们也可以将其替换：

$$\begin{gathered} g_{i,j,k}\times \frac{k-j}{n}\to h_{i,j} \\ {g}_{i,j,k}\times \frac{i-k}{n}\to h_{i,j} \\ {h}_{i,j}\times \frac{n-i}{n}\to h_{i+1,j} \\ {h}_{i,j}\times \frac{n-i}{n}\to h_{i+1,j+1} \end{gathered}$$

然后发现前两行居然转移居然起点终点都相同，那么我们可以将其合并

$$\begin{gathered} g_{i,j,k}\times \frac{i-j}{n}\to h_{i,j} \\ {h}_{i,j}\times \frac{n-i}{n}\to h_{i+1,j} \\ {h}_{i,j}\times \frac{n-i}{n}\to h_{i+1,j+1} \end{gathered}$$

然后惊奇的发现转移系数也不带 $k$ 了于是替换为 $h$：

$$\begin{gathered} h_{i,j}\times \frac{i-j}{n}\to h_{i,j} \\ {h}_{i,j}\times \frac{n-i}{n}\to h_{i+1,j} \\ {h}_{i,j}\times \frac{n-i}{n}\to h_{i+1,j+1} \end{gathered}$$

去掉自环得：

$$\begin{gathered} h_{i,j}\times \frac{n-i}{n-i+j}\to h_{i+1,j} \\ {h}_{i,j}\times \frac{n-i}{n-i+j}\to h_{i+1,j+1} \end{gathered}$$

转化成功。