洛谷2025省选测试D1T2“羽毛” 题解

洛谷2025省选测试D1 T2“羽毛” 题解

快进到：本题可以转化为，每次询问给定 $l,r$ 求：

$$\begin{array}{rl}& maxx\\ \text{st}.& \sum _{i=0}^x{c}_i=x+1\\ & c_i=\sum _{j=l}^r[a_j=i]\end{array}$$

赛场思路：“一个位置 p 加上 1 后，根据前缀和，p~n 的所有位置加1，假设上一次答案为q
那么新的答案必定在 $[max(p,q+1),n]$ 中产生。
而这些数在之前都没有超过0，若有新的答案，其必定是区间最大值。
于是维护区间最大值可以解决 。对于在 p 位置上减 1，那么 $q\in [p,n]$ 可能让 q 不为答案，这时可能有正数减为0，但原本是有负数的所以做不了
即：可以插入，不能删除，可以回滚莫队，复杂度$O(n\sqrt{q}\log n)$”

然而常数太大，没暴力快。

设 $F([l,r],x)=\sum _{i=0}^x(\sum _{j=l}^r[a_j=i]-1)$，由于考场上我认为 $F([l,r],x)$ 不单调所以不能二分，每次重新找位置是 $\mathcal{O}(n)$，才用回滚莫队，但实际不是。

如果在值域线段树上维护区间 $F([l,r],x)$ 最值，每次左右递归的时候看右区间的 $mx$ 是否大于 $0$ 即可。

即使域不单调，也可以线段树上二分求解想要的信息，因为它维护区间信息，而不是单点求值。

那么就没必要用回滚莫队，常数大大减小。

出题人说可以做到 $\mathcal{O}(n\sqrt{n})$ 但我不会。

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可以看出来这道题离线不带修就是让你扫描线的。但扫 $l,r$ 都很难做

答案很小的时候，可以直接对答案域进行扫描线，转而同时维护所有询问的信息。

$ans=n\to 1$ ，设此时 $ans=x$，若 $F([l_i,r_i],x)=x+1$，则马上确定 $an{s}_i=x$，不再考虑 $qr{y}_i$。

现在 $ans:x\to x-1$，即要删去 $x$ 的贡献，令 $a_i=x$ 则 $\mathrm{\forall }i\in [l_i.r_i],F([l_i,r_i])$ 自减 $1$。

然后就发现做不了，因为这关心两维限制，而我们不能再扫描线降维了。

同时关心多个区间，可以考虑排除包含的情况，简化问题。

发现若 $[l_j,r_j]\subseteq [l_i,r_i]$ 即区间包含，则 $an{s}_j\le an{s}_i$，当没有确定 $an{s}_i$ 时，$an{s}_j$ 一定不会被确定，此时没必要考虑。

于是被考虑的区间不包含。

对于不相互包含的区间，排序后，包含位置 $i$ 的区间，一定连续。

那么我们就可以用线段树或平衡树维护，复杂度 $\mathcal{O}((n+q)\log n)$。

如何找到应该被插入的区间？

我们将区间排序后，建立一个线段树维护 $ma{x}_{i\in [L,R]}{r}_i$。这样当一个区间 $[l_i,r_i]$ 被删除时，找到上一个正被考虑的区间 $lst$ ，下一个正被考虑的区间 $nxt$ 那么对于所有 $lst<i<nxt,r_i>r_{lst}$ 且没有被考虑过的 $i$ 应该被插入，这就不断找变成查询区间中第一个满足 $r_i>r_{lst}$ 的 $i$，可以线段树上二分解决。