#918. 【UR #28】偷吃蛋糕 总结

#918. 【UR #28】偷吃蛋糕 总结

一道搜索好题，并没有像“智破连环阵”运用高深的算法进行卡常，却可以通过严谨的证明让搜索成为 $n\le 2000$ 的正解。

由于笔者水平有限，这只能是总结，不能是题解。

想看题解请去UOJ

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启示一：$n\le 2000$ 也可以用搜索

真的没想到，虽然这道题我有过很多剪枝的思路，但是怎么也想不到 $n\le 2000$ 是搜索能过了。

只要有了“搜索剪枝”这个方向，我想在 $4.5h$ 内是可以设计出正解的。（但是证明不了，只能通过造数据测效率）

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启示二：分析复杂度也需要用算法

这道题分析 $\mathcal{O}(n\sqrt{n}{2}^{\sqrt{n}})$ 的复杂度时需要用到根号分治。这是因为有效的 $\sum c=n$，和一定的时候考虑根号分治。这与我们"一般出现次数都与根号分治挂钩"的论断相符，因为其本质也是因为出现次数 $c$ 之和 $\sum c=n$。

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启示三：当我们能直接计算的时候就应该避免递归枚举

是一个剪枝技巧，可以对效率有很大的提升

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启示四：列出一个计算次数的形式化表示后，求复杂度就是在求这个式子的最值

比如我们设 $f(i)$ 表示递归到 $i$ 后的计算次数，且分析到 $f(i)=\underset{j=i+1}{\overset{n}{max}}f(j)\times (j-i)$ 并有 $f(n)=1$ 求复杂度。

可以理解这个式子的组合意义，可以发现其就是：

$\begin{array}{rl}& max\prod _i{x}_i\\ \text{st}.& \sum _i{x}_i=n\\ & \mathrm{\forall }i,x_i\in \text{Z}\cap [1,n]\end{array}$

根据差小积大的原理，我们应该使得 $x$ 尽量相同，假设总共有 $k$ 个数，那么 $\prod x=k^{\frac{n}{k}}$，因为 $k\in \text{Z}$，当 $k=3$ 去到最大值 $\mathcal{O}(3^{\frac{n}{3}})$ 。

这就是第一部分的复杂度分析原理——最大化。

还可以直接列出一个合法状态数的形式化限制，通过 dp 等最优化算法得出其最大值。

网页截图：

这样可以算出搜索上界，但是：

很神奇。