集合幂级数学习笔记

一、集合幂级数基础

类比形式幂级数将序列对应为一个多项式，我们可以用类似的方法，把一个集合及其所有子集变为一个多项式的形式，对于集合 $U$ 标准形式如下：

F (x) = \sum_{S \subseteq U} f_{S} x^{S}

这里 $x^{S}$ 只是一个占位符，就像形式幂级数的 $x^{i}$ 一样。

加减法

集合幂级数的加减法很简单，就是对应位置相加，即：

f \pm g = \sum_{S \subseteq U} (f_{S} \pm g_{S}) x^{S}

乘法

类比一般多项式乘法，有：

h = f \cdot g = (\sum_{S \subseteq U} f_{S} x^{S}) (\sum_{S \subseteq U} g_{S} x^{S}) = \sum_{L \subseteq U} \sum_{R \subseteq U} f_{L} g_{R} x^{L * R}

其中 $*$ 是集合间的一种二元运算，并使得 $*$ 有交换律，结合律，以及单位元 $\emptyset$ 。

常见的 $*$ 有 集合并，集合交，集合对称差，子集卷积。

二、分治解法

集合并卷积

令 $*$ 为 $\cup$ ，则有：

h_{S} = \sum_{L \subseteq U} \sum_{R \subseteq U} [L \cup R = S] f_{L} g_{R}

暴力进行复杂度 $O (4^{n})$ 。

集合对称差卷积

定义集合上的二元运算 $\oplus$ 表示 $A \oplus B = {x | (x \in A) \oplus (x \in B)}$ 后者的 $\oplus$ 表示异或运算。

则有：

h_{S} = \sum_{L \subseteq U} \sum_{R \subseteq U} [L \oplus R = S] f_{L} g_{R}

集合交卷积

类似，咕了。

三、快速沃尔什变换/快速莫比乌斯变换

算了我觉得 Alex_Wei 老师写太好了，我太懒了所以就不写了直接写应用吧。

四、性质

$\prod f = I (\prod T (f))$ ，这是因为集合卷积不会改变集合大小，而多项式乘法会让下标变大所以每次 FFT 乘法后要马上 IFFT 回来。
FWT 有线性性，即 $T (\sum_{i} c_{i} f_{i}) = \sum_{i} c_{i} T (f_{i})$

五、应用

下文中 $T ()$ 表示快速沃尔什变换， $I ()$ 表示快速沃尔什逆变换。 $T^{i}, \prod T, \prod \hat{f}$ 表示对变换后的结果的每一位的值普通乘法。 $f^{i}, \prod f$ 表示卷积。

AT_abc212_h [ABC212H] Nim Counting - 洛谷

基础应用。

对每一堆石子生成函数有： $f = \sum_{S} [S \in {A}] x^{S}$

答案为： $\sum_{i = 1}^{n} f^{i}$ 中非 $x^{\emptyset}$ 项之外的系数之和。

那么有 $\sum_{i = 1}^{n} f^{i} = \sum_{i = 1}^{n} I (T^{i} (f)) = I (\sum_{i = 1}^{n} T^{i} (f))$ 。

其中第二个等号成立是因为 FWT 有线性性。于是用等比数列求和公示可以解决。

CF449D Jzzhu and Numbers - 洛谷

对每个数生成函数有 $f_{i} = x^{a_{i}} + x^{U}$ ，其中 $U = 2^{20} - 1$ 即全集。那么答案为 $[x^{\emptyset}] \prod f_{i}$ 其中 $\prod$ 表示集合交卷积。

有： $[x^{\emptyset}] \prod f_{i} = [x^{\emptyset}] I (\prod T (f_{i})) = [x^{\emptyset}] I (\sum_{S} \prod {\hat{f}}_{i, S})$ 但是这样直接计算是 $O (n^{2})$ 的。

我们知道集合交卷积的 FMT 本质是高维后缀和，那么 ${\hat{f}}_{i, S} = [S \subseteq a_{i}] + 1$ 所以 $\prod {\hat{f}}_{i, S} = 2^{\sum_{i} [S \subseteq a_{i}]}$ 这里我们直接令 $g_{S}$ 表示 $S$ 在 ${a_{i}}$ 中出现的次数然后求一个 FMT 就变成了 $\sum_{i} [S \subseteq a_{i}]$ ，即 $\prod {\hat{f}}_{i, S} = 2^{{\hat{g}}_{S}}$ 于是可以一次 FMT 加一次 IFMT 解决这道题。

CF662C Binary Table - 洛谷

注意到 $n$ 很小， $m$ 很大，有一种暴力的方法是枚举每行翻不翻转，然后对于每一列贡献 $0 / 1$ 数量较少的那个个数。

翻转后的状态由初始状态与翻转操作状态异或得来

设第 $i$ 列的初始状态为 $a_{i}$ ，形式化的式子为： $min_{x} {\sum_{i} g_{x \oplus a_{i}}}$ 其中 $g_{s}$ 表示 $s$ 中 $01$ 个数的较小值。

由于 $i$ 与位置有关， $x$ 与值有关，不好处理，令 $c_{i}$ 表示状态 $i$ 在 ${a}$ 中出现的次数，答案转化为： $min_{x} {\sum_{i} c_{i} g_{i \oplus x}}$ 发现 $min$ 里面就是一个子集卷积。没发现？没关系，令 $j = i \oplus x$ ， $f_{x} = \sum_{i} c_{i} g_{i \oplus x}$ ，有 $f_{i \oplus j} = \sum_{i} c_{i} g_{j}$ 那么这用个集合对称差卷积可以求出所有的 $f_{x}$ 最后取最小值即可。

复杂度 $O (n^{2} 2^{n} + m)$ 。

AT_abc288_g [ABC288G] 3^N Minesweeper - 洛谷

这道题设计 FWT 的一个核心思想——各位独立。

类比在推 ${\hat{f}}_{i} = \sum_{j = 0}^{2^{k} - 1} C (i, j) f_{j}$ 的时候将 $C (i, j)$ 拆做 $\prod_{i = 0}^{k - 1} c (i_{k}, j_{k})$ ，其中 $i_{k}$ 表示 $i$ 在二进制下的第 $k$ 位。这道题本来有 $A_{i} = \sum_{j = 0}^{3^{n} - 1} C (i, j) B_{j}$ ，但是 $C (i, j)$ 的限制也是独立的，于是同样令 $C (i, j) = \prod c (i_{k}, j_{k})$ 。我们考虑求出矩阵 $c$ 的值。因为：

{\begin{aligned} a_{0} = b_{0} + b_{1} \\ a_{1} = b_{0} + b_{1} + b_{2} \\ a_{2} = b_{1} + b_{2} \end{aligned}

求出 $c = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$ ，直接算出 $c^{- 1} = [\begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$ 。用IFWT的方式可以算出 ${B}$ 。

CF1119H Triple - 洛谷

这是一类求 $\prod_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} w_{j} x^{a_{i, j}}$ 的值的方法，其中 $\prod$ 为集合对称差卷积。即非 $0$ 项系数相同但是位置不同。本题为 $k = 3$ 的特例。

首先 $\prod_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} w_{j} x^{a_{i, j}} = I (\prod_{i = 1}^{n} T (\sum_{j = 1}^{k} w_{j} x^{a_{i, j}}))$

根据 FWT 的变换式， $\forall S, [x^{S}] \sum_{j = 1}^{k} w_{j} T (x^{a_{i, j}})$ 总共有 $2^{k}$ 中可能的取值，即： $\sum_{j = 1}^{k} \pm w_{i}$ ，现在我们想对于每种取值求出其出现次数。

令 $T \subseteq 1, 2, \dots k$ ，且若 $T$ 的第 $i$ 位为 $0$ 就令 $w_{i}$ 的系数为 $1$ 否则为 $0$ 。每种状态看作集合 $T$ ，令其出现次数为 $c_{S, T}$ 。

令 $G_{T} = \sum_{i = 1}^{n} x^{⨁_{j \in T} a_{i, j}}$ ，考虑 $[x^{S}] F W T (G_{*})$ 与 $c_{S, *}$ 的关系，应该有 $F W T (G_{T}) = \sum_{V} C (T, V) c_{V}$ 讨论其系数发现 $C (T, V) = (- 1)^{| T \cap S |}$ 这与 FWT 的系数正好相同。即 $[x^{S}] F W T (G_{*})$ 是 $c_{S, *}$ 的 FWT，想求 $c$ 就对 $T$ 进行 IFWT 就行了。