线段树

线段树

一、邻项线性函数最值

如果 $f(i)$ 的值由 $f(i-1)$ 得来，且 $f(i)-f(i-1)$ 的值仅由 $a_i$ 与 $a_j$ 的关系得来，那么 $f(i)$ 被称为邻项线性函数。

$$f(i)=\{\begin{array}{rlrl}& f(i-1)+1& & s_{i-1}>s_i\\ & f(i-1)& & s_{i-1}=s_i\\ & f(i-1)-1& & s_{i-1}<s_i\end{array}$$

那么 $f(i)$ 就是一个邻项线性函数。对于这个函数，可以证明所有 $f(i)$ 最小值的位置的 $s_i$ 值都相同，那么且这种东西的 $[l,r]$ 区间相对大小关系是不受 $l-1$ 的位置影响的。

例题：2024.6.29T3

二、标记永久化与贡献型修改

标记永久化是针对于标记可以合并但标记难以下传（二维线段树），或下传后引发连锁反应（比如李超线段树）就需要标记永久化。

贡献型修改是指在修改的时候将修改操作的影响直接作用在，定位节点到根的路径上的所有节点，避免上传，用于易于计算贡献但难以上传的情况（比如二维线段树）。

三、线段树的不完整修改

线段树不仅可以对整个区间进行加减，也可以对区间中满足某种特点的部分信息进行加减。

举个例子，现在要对区间中的最小值的位置的贡献（注意不是那个最小值本身，不然只能分块做）进行加减，并维护区间和，那么我们只需要额外维护“区间最小值及个数，对区间最小的加标记”，我们便可以完成这种操作。

一道例题：2025.2.19的模拟赛题“好子段”，这道题前面用“【NOIP2024】线段树”的后缀和扫描线技巧可以简单转化为上述例子中的问题，于是可以做了。