记录一种DAG计数方法与一个配套技巧

记录一种DAG计数方法与一个配套技巧

定义 $f_S$ 表示集合 $S$ 中的点构成的合法 DAG 子图的方案数。假设找到 DAG 中一个入度为 $0$ 的节点 $x$，那么很明显 $f_S=\sum _x{f}_{S\setminus \{x\}}$，这明显要算重因为 $S\setminus \{x\}$ 中也有入度为 $0$ 的点。

于是有一个容斥的想法，设 DAG 中一个入度为 $0$ 的点集至少是 $T$，根据容斥的思想，其应该贡献 $(-1{)}^{|T|+1}$ 的权值

于是有表达式 $f_S=\sum _{T\subseteq S,T\ne \mathrm{\varnothing }}{f}_{S\setminus T}(-1{)}^{|T|+1}$ 。

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技巧：一个判断点集 $T$ 是否能到点集 $S$ 的方法：记录所有可以到点集 $S$ 的点的集合 $from[S]$，直接看 $T\cap from[S]=\mathrm{\varnothing }$ 即可。

注意：c++ 中 & 运算的优先级低于 == 运算。

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P6846 [CEOI 2019] Amusement Park

CF1193A Amusement Park 与这道题是双倍经验

用一种对称的观点看，我们发现若存在一种翻转 $x$ 条边的方案，那么一定存在另一种翻转 $m-x$ 条边的方案，那么问题变成了：给定一个无向图，你可以给边定向，求无向图个数，最后乘上 $\frac{m}{2}$。

于是设 $f_S$ 表示点集 $S$ 构成的子图的合法 DAG 数量，根据上面的方法，有 $f_S=\sum _{T\subset S,T\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{|T|+1}{f}_{S\setminus T}\times c(T)$ 其中 $c(T)$ 表示 $T$ 集合中是否两两无边。

AT_abc306_h [ABC306Ex] Balance Scale

如果不考虑 =，那么容易发现答案不合法当且仅当有同序的关系构成了一个环，于是这就是一个 DAG 计数，与上一道题是一模一样的。

容易发现添加了 = 后，相当于把几个点构成的子连通块合并在了一起，类比一下，发现可以把这样一个连通块当作一个“点”进行添加，即：

同理配容斥系数，设 $cn{t}_T$ 表示一个点集 $T$ 的子图联通块数，则：

$f_S=\sum _{T\subseteq S,T\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{cn{t}_T+1}{f}_{S\setminus T}$

$\mathcal{O}(3^n)$ 已经可以解决这道题。

更优的复杂度：发现这是一个子集卷积，用子集卷积可以做到 $\mathcal{O}(2^n{n}^2)$ 的复杂度。

[学习笔记]子集卷积 - epic01 - 博客园

TG178X 的模拟赛题“单独行动”

题目：给一个 $n$ 个点，$m$ 条边的无向图，每条边 $(u,v)$ 分别有 $\frac{1}{3}$ 的概率变为 $u\to v,v\to u$ 和消失，求最后为 DAG 的概率。

$n\le 20$

首先按照方法设出 dp 并写出转移式：

$$f_S=\sum _{T\subseteq S,T\ne \mathrm{\varnothing }}{f}_{S\setminus T}{2}^{E(S)-E(T)-E(S\setminus T)}(-1{)}^{|T|+1}$$

其中 $E(S)$ 表示两端都在 $S$ 中边数。这道题 $\mathcal{O}(3^n)$ 过不了。

将式子变为：

$$\frac{f_S}{2^{E(S)}}=\sum _{T\subseteq S}\frac{(-1{)}^{|T|+1}}{2^{E(T)}}\frac{f_{S\setminus T}}{2^{E(S\setminus T)}}$$

这可以子集卷积，复杂度 $\mathcal{O}(2^n{n}^2)$。

P10221 [省选联考 2024] 重塑时光

不难发现 $k=0$ 就是 DAG 拓扑排序数，用一个简单的状压 DP 即可解出。

当 $k\ne 0$ 时，相当于将点集分成了小于等于 $k$ 块（先不考虑空集），求块内是合法的 DAG 拓扑排序，块间不存在环的方案数。“不存在环”就是 DAG，块间变成了一个 DAG 计数，而块内我们已经解决了，这是一个正确的思路。

设 $S$ 块内重排列满足条件的方案数为 $h_S$，有：

$$h_S=\sum _{T\subseteq S}{h}_T\times c(T,S\setminus T)$$

其中 $c(S,T)$ 表示 $S$ 不能到 $T$。

设 $g_{S,i}$ 表示把 $S$ 中的点分成 $i$ 块使得其中块间两两无边的方案数，有：

$$g_{S,i}=\sum _{T\subseteq S}{g}_{S\setminus T,i-1}\times c(T,S\setminus T)\times c(S\setminus T,T)$$

设 $f_{S,i}$ 表示把 $S$ 中的点分成 $i$ 块使得构成 DAG 的方案数，有：

$$f_{S,i}=\sum _{T\subseteq S}c(T,S\setminus T)\times c(S\setminus T,T)\times \sum _{j=0}^i{f}_{S\setminus T,i-j}{g}_{S,j}$$

最终答案为 $\frac{k!(k+1)!}{(n+k)!}\sum _i\frac{f_{U,i}}{(k+1-i)!}$。

于是可以在 $\mathcal{O}(n^2{3}^n)$ 的时间复杂度下求解，然而还可以更快。

容易发现上面的转移式是一个卷积。设 $F_S(x)=\sum _i{f}_{S,i}{x}^i,G_S(x)=\sum _i{g}_{S,i}(-1{)}^{i+1}{x}^i$，则上述转移式可以改写为：

$$F_S(x)=\sum _{T\subseteq S}{F}_{S\setminus T}(x)G_S(x)$$

带 $n$ 个 $x$ 进去求出值后，再用拉格朗日插值求出系数即可。

复杂度 $\mathcal{O}(n{3}^n+n^2{2}^n)$。

P6295 有标号 DAG 计数

先咕

【清华集训2014】主旋律

这是求强连通的子图，我们知道强连通图缩点后就是一个点，而非强连通图缩点后就是DAG，于是可以通过 DAG 计数的方法计算出非强连通图的个数后，从而得到强连通图的个数。

设 $f_S$ 表示点集 $S$ 的强连通子图的方案数，可以套路的列出下列式子：

$$f_S=2^{E(S,S)}-\sum _{T\subseteq S,T\ne \mathrm{\varnothing }}{2}^{E(T,S\setminus T)+E(S\setminus T,S\setminus T)}{g}_T$$

其中 $E(S,T)=|\{(u,v)|u\in S,v\in T\}|$。

$g_T$ 是点集 $T$ 的带容斥系数的分成若干强连通分量的方案数，这里的容斥系数本来应该是 $(-1{)}^{\mathrm{强}\mathrm{连}\mathrm{通}\mathrm{分}\mathrm{量}\mathrm{数}+1}$，但由于并不知道具体强连通分量数，只能如此处理。枚举其中一个元素所在的强连通块，有如下式子：

$$g_S=-\sum _{T\subseteq S,maxS\in T}{f}_T{g}_{S\setminus T}$$

注意：

• 根据定义 $-f_S{g}_{\mathrm{\varnothing }}\to g_S$ 的更新应该放在 $f_S$ 处理完毕之后。

• $g_{\mathrm{\varnothing }}=-1$

代码：提交记录 #739694

HDU 4997 Biconnected

题意：给一张图，问有多少种加边的方法，使得图是边双。

GYM 102331C Counting Cactus

题意：给一张图（无重边自环），求有多少个边的子集使得没有任何一条边在两个环中。 （生成边仙人掌计数）

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一个参考文章：一类图论相关的状压 DP 题的常见解法 - Mackerel_Pike - 博客园，里面说这种方法不仅可以运用在DAG计数，还可以运用在连通图、强连通、双连通图的计数与最优化上。其中计数问题需要容斥，最优化问题则不需要。