计数问题的思考方法

——以《[ARC102E] Stop. Otherwise...》为例

动态规划

如果要使用 DP，则重点在其状态的设计，即我已经考虑了什么，当前正在考虑什么，通过一个不断将考虑范围扩大的方法，得到答案。

在转移的过程中，往往通过当前决策点的不同状态，从不同的状态转移过来（或转移到不同的状态），以得到不同的方案数。

最后根据转移方程进行优化。

DP的优势在于灵活，使得其可以应对各种复杂的问题。

在这道题中， $f_{i, j}$ 表示考虑前 $i$ 对数，选择了 $j$ 个数的方案数。那么这对数可以不选，或者选 $1$ 个， $2$ 个， $3$ 个……以此进行转移。同理 $g_{i, j}$ 表示考虑了 $i$ 个没有限制的数，其中选择了 $j$ 个的方案数。对转移前缀和优化即可在时间限制内得到答案。

参考：[AT4362] [ARC102C] Stop. Otherwise... - 洛谷专栏 (luogu.com.cn)

组合计数

即直接考虑将题目抽象为组合式，再以数学方法或预处理等算法进行优化。

如果要使用这种方法，一定要使用正确的组合意义与推式子技巧，在枚举的时候应该使用组合意义相近的变量，使得式子得到简化。

组合计数的优势在于简单易懂，只要式子推对了，不容易出错。

对于这道题而言，对与计算和不等于 $s$ 的答案，可以直接枚举出现了几种点对，有式子：

\begin{aligned} a n s & = \sum_{i = 0}^{s} \sum_{j = 0}^{s} (\binom{n - 1}{i + j - 1}) (\binom{s}{i}) (\binom{k - 2 s}{j}) 2^{i} \\ = \sum_{i = 0}^{s} 2^{i} (\binom{s}{i}) \sum_{j = 0}^{k - 2 s} (\binom{n - 1}{n - i - j}) (\binom{k - 2 s}{j}) \\ = \sum_{i = 0}^{s} 2^{i} (\binom{s}{i}) (\binom{n - 1 + k - 2 s}{n - i}) \end{aligned}

最后一步由范德蒙德下指标卷积可得，单次复杂度 $O (s)$ 可以计算。

其实这道题有很多种但是这一种，由于所枚举的 $i, j$ 是意义相关的两种（即特殊的选择几种，非特殊的选择几种），所以其表达式类似，往往可以简单的进行优化。

不用最后一步的暴力方法需要对 $k < 2 s$ 特判，但最后使用了卷积后就不用了。

附上常用组合公式：

范德蒙德卷积及其推论：如果两个都为正，可以利用 $(\binom{n}{m}) = (\binom{n}{n - m})$ 将其中一个取反。

\sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{r - i}) = (\binom{n + m}{r}) \sum_{i = - r}^{s} (\binom{n}{r + i}) (\binom{m}{s - i}) = (\binom{n + m}{r + s})

错位式：

(\binom{n}{r}) (\binom{r}{k}) = (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{r - k})

连续上指标求和：

\sum_{l = k}^{n} (\binom{l}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1})

上指标卷积：

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{a}) (\binom{n - i}{b}) = (\binom{n + 1}{a + b + 1})

带权和：

\sum_{i = 0}^{n} i^{k} (\binom{n}{i}) = n^{\overset{―}{k}} 2^{n - k}

参考：

排列组合 - OI Wiki (oi-wiki.org)

ARC102E Stop. Otherwise... 题解 - 洛谷专栏 (luogu.com.cn)

生成函数

生成函数最关键的就是考虑清楚对象与大小函数，通过多项式的运算得到答案。

统计取到一定大小函数的方案数。

生成函数的优势在于推导方式灵活，较不容易出错，并且可以使用 $F F T$ 优化到 $O (n \log n)$

比如这道题，考虑不能出现的数为奇数 $X = 2 s + 1$ 的情况，，观察有限制的数组这一对象，其为 ${i, T - i}$ 这个组，我们可以当作一个处理，最后再乘以二，则其为 $A (x) = x$ ，即大小函数为 $1$ ,方案数为 $1$ 。

那么对其进行 $SEQ$ 构造，则 $SEQ (A (x)) = \frac{1}{1 - A (x)} = \frac{1}{1 - x}$ ，最后乘二，但是不选的那种算重了，所以生成函数为 $SEQ (B (x)) = \frac{2}{1 - x} - 1 = \frac{1 + x}{1 - x}$ 。对于没有特殊限制的组，其为 $SEQ (B (x)) = \frac{1}{1 - x}$ ，最后答案是整个对象的 $MEST$ 构造，即 $SEQ$ 构造的乘积，最后为 $(\frac{1 - x}{1 + x})^{s} (\frac{1}{1 - x})^{k - 2 s}$ ，偶数的情况稍作特判可得。

直接动态维护上述式子做到 $O (n k)$ 。

参考：

符号化方法 - OI Wiki (oi-wiki.org)

题解：AT_arc102_c [ARC102E] Stop. Otherwise... - 洛谷专栏 (luogu.com.cn)

容斥反演

容斥是通过其实是通过数学原理简化限制，从全部满足，变成存在一个不满足。

使用容斥也需要找到真正的限制对象是什么，做到刚好不满足，可以将复杂的限制容斥掉，保留简单的，容易满足的限制以符合定义，得到正确的答案。

容斥原理的优势在于避其锋芒，可以有效的转化限制，处理全部要求类的问题。

反演则是容斥的进一步深化，特殊化，总结出固定的式子，做到恰好，至多，至少之间的转化。

这道题使用容斥原理，设 $x = 2 s + 1$ ，则钦定有 $i$ 组数不能选的方案数，答案为：

$\sum_{i = 1}^{s} (- 1)^{i} (\binom{s}{i}) 2^{x - i} (\binom{K - s - i - 2 + n}{n})$ ，对于 $x$ 为偶数的情况同理特判加上选择 $\frac{x}{2}$ 的方案数。

参考：容斥原理、ARC102C 题解 - 洛谷专栏 (luogu.com.cn)

组合意义

虽然这一道题不涉及组合意义的转化，但是也说一下。

组合意义是将一些给一些形式化的表达式赋予实际的意义，通过一些直观的感受发现性质转化问题，从而找到新的突破口。

组合意义的转化理论上来说确实可以通过强大的数学推到能力证明，但实际上由于表达式的复杂，或者推到过程的复杂，往往难以进行。

而组合意义相当于是从另一个层面找寻性质，如一个虫洞般省略过程的转化问题。而这些找到的性质往往是可以但难以通过数学推导方法直接得出的。

由于这个性质是独立得出的，往往可以运用到数学推导的各个角落进行优化。

例题：P1758 [NOI2009] 管道取珠

这里以 [2024.11.15T3 作曲家](\xz604\share\信息竞赛资料\05 - 套题资料\20241115\problem\problem5.pdf) 为例。

如果你直接生成函数，会得到函数$F(x)=(\frac{1-x^{m+1}}{1-x})n $，以及需要求的式子 $\sum_{i = 1}^{n} ([x^{i}] F (x))^{2}$ ，如果你直接暴力将 $F (x)$ 展开，会得到式子：

F (x) = \sum_{i} (\sum_{j = 1}^{⌊ \frac{i}{m + 1} ⌋} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) (\binom{n + i - (m + 1) j - 1}{n - 1})) x^{i}

那么答案就是

\sum_{i = 0}^{n m} (\sum_{j = 0}^{⌊ \frac{j}{m + 1} ⌋} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) (\binom{n + i - (m + 1) j - 1}{n - 1}))^{2}

你会发现无法再化简了。

但是直接观察题目，会发现 $f_{i}$ 是有对称性的，即 $f_{i} = f_{n m - i}$ 但是如果你直接将这个性质作用于答案式，会发现无济于事。但如果你作用于最开始的式子

\sum_{i = 1}^{n} f_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} f_{n m - i} = [x^{n m}] F^{2} (x) = [x^{n m}] (\frac{1 - x^{m + 1}}{1 - x})^{2 n}

就会发现式子非常简单，这体现了组合意义发现的性质的优化是可以使用于任何地方的，其工作原理是这个性质并不是通过任何一个数学步骤推导得出的，不依赖于任何一个过程，所以施加于任何地方都不是无用的，也告诉我们推式子问题并不能仅仅收到式子本身的限制，所谓“只需要推式子技巧，不需要分析额外性质”的观点是错误的。

而之所以答案式不能运用性质，是因为答案式已经展开的过于复杂而分散，这也告诉我们应该在式子最简单的地方运用性质。

而之所以仅将 $f_{i}^{2}$ 中的一个 $f_{i}$ 转化成 $f_{n m - i}$ 是因为其可以凑成一个卷积的形式，所以运用性质是带有凑条件，凑形式的目的性的。

当然这道题有更加组合意义的如下解法：

作者：lupengheyyds

出处：https://www.cnblogs.com/lupengheyyds/p/18540423

版权：本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

posted @ 2024-11-11 19:48 lupengheyyds 阅读(24) 评论(0) 编辑收藏举报

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