CF1977D XORificator

CF1977D XORificator

题意

给你一个二进制（仅由 $0$ 和 $1$ 组成）$n\times m$ 矩阵。你可以进行以下操作任意次：反转某一行中的所有值（即用 $1$ 替换 $0$，用 $0$ 替换 $1$）。

矩阵中的某一列如果只包含一个 $1$，则被视为特殊列。你的任务是找出最多有多少列可以同时被特殊化，以及为达到这一目的应在哪几行反转。

$1\le nm\le 3\times {10}^5$

题解

我们发现，如果我们钦定第 $j$ 列的第 $i$ 行位置为 $1$，其他行位置为 $0$。会发现其实我们确定了整个矩阵。它的反转方式也是唯一确定的。

于是可以考虑枚举每一列，得到钦定某一个位置为 $1$ 时哪些行需要反转。

在最多列出现的反转方案就是答案。于是我们可以将一种反转方案哈希起来，放入 map 进行统计，这里我用的随机权值异或的哈希方法。

接着考虑如何 $\mathcal{O}(1)$ 求出反转方案的哈希值。

可以统计前后缀的哈希值，为 $1$ 视作反转，为 $0$ 视作不反转，一个位置为 $1$ 的反转方案应该为前后缀的反转方案加上这一位的相反状态。

于是我们就可以 $\mathcal{O}(nm)$ 的解决掉这道题。

总结

• 找供需关系

  看答案的贡献并找到使得这个贡献进入答案的要求