2024.7.2

2024.7.2

T1

题面

总共 $n$ 个数与 $m$ 个限制，第 $i$ 个限制给定 $k_i$ 个数，表示这些数两两不能分为一组，问最少可以分为几组。

$1\le k\le n\le {10}^5,1\le m\le 4$

题解

把每个人的参赛情况用一个 $[0,15]$ 中的整数 $s$ 表示，再按照 $\mathrm{popcount}(s)$ 从大到小贪心凑即可。（求证）复杂度 $\mathcal{O}(2^{4m}+nm)$

方法

• 贪心

T2

题面

给定一棵 $n$ 个点的树和整数 $k$，边有边权。
定义一个树上连通块的权值为其中边权之和，你需要求满足「至多包含一个度数 $>k$ 的点」的树上连通块的权值最大值。
注意，条件中的度数指连通块中的度数，而非原树中的度数。

$1\le n\le 2\times {10}^5,0\le k<n$

题解

设 $d{p}_{x,0/1}$ 表示以 $x$ 为根的子树中 没有/有 度数 $>k$ 的点，注意向上转移应该算上与父亲的边，与字数内答案不完全一样，转移即可

复杂度 $\mathcal{O}(n)$

方法

• 树形 DP

T3

题面

称一个正整数对 (a,b)合法，当且仅当存在正整数 $k$ 和 $k$ 组正整数对 $(h_i,w_i)$，使得

• $\sum _{i=1}^k{h}_i{w}_i=a$

• $\sum _{i=1}^k{h}_i+w_i=b$

给定 $n,m$，求满足 $a\in [1,n],b\in [1,m]$ 的正整数对中有多少是合法的。

$1\le n,m\le 2\times {10}^5$

题解

这里是 $c,s\le 6\times {10}^3$ 的 $49$ 分做法

令 $d{p}_{a,b}$ 表示 $(a,b)$ 是否合法，则

$$d{p}_{a,b}=\underset{h\ge 1,w\ge 1,hw\le a,h+w\le b}{\wedge }d{p}_{a-hw,b-w-h}$$

可以 bitset 优化，这是 $18$ 分的。

很难不借助打表注意到，$\text{exist}w\in {\text{N}}^{\ast },\mathrm{\forall }a\in [1,n],b\in [w,2a],(a,b)\mathrm{合}\mathrm{法}$

利用Excel 可得， $w\approx 2.6\sqrt{n}$，打表可得当 $n\le 6\times {10}^3，w$ 可取 $200$

于是只需要存储小于 $w$ 的数据时间变为 $\mathcal{O}(\frac{w^{2}n}{32})=\mathcal{O}(n^2)$

可以过 $49$ 分数据

正解：

方法

• 打表

  这种连数竞选手都不一定能证明的结论，不用计算机辅助证明还能用什么。

T4

题面

对于一个元素互不相同的序列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，定义一次合法的操作为：

• 选择一个 使得 $i\in [2,n-1]$ 使得 $a_{i-1}<a_i<a_{i+1}$ ，将 $a_{i+1}$ 移动到 $a_{i-1}$ 之前。

我们定义一个序列是合法的，当且仅当它能够由一个严格单调上升的序列通过有限多次操作得到。

给定排列 $p_{1\sim n}$。有 $q$ 次修改，每次修改形如交换 $p_x$ 和 $p_y$ 的值。你需要在每次修改后，回答最小的正整数 $k$，满足 $p_{k\sim n}$ 为一个合法的序列。

$2\le n\le {10}^5,1\le q\le {10}^5,1\le x,y\le n,x\ne y,p\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}n\mathrm{阶}\mathrm{排}\mathrm{列}$

题解

考虑从一个严格递增序列开始操作的过程，发现操作过程中每个数右侧小于它的数的个数始终为偶数，并且显然任意满足这个条件的序列都合法，所以这个条件是充要的。

便有了 $\mathcal{O}(n^2)$ 做法

考虑用分块维护这个信息。设 $i$ 右侧有 $r_i$ 个 $<p_i$ 的数。假设交换 ，那么 $x,y$ 所在的块可以暴力重构;对于中间的块，影响是一个值域区间内的 $r\pm 1$。

于是可以想到每个块内部先排序，然后维护 $r$ 的差分。这样的话发现需要对中间每个块做 lower_bound ，而块内是可以线性重构的。直接做时间复杂度$\mathcal{O}(n\sqrt{n\log n})$为 ，已经足以通过。

方法

• 模拟操作过程