2024.6.8

2024.6.8

比赛信息

比赛时间：8:10~12:00

出题人：马未然

题目内容

T1

题面

给定一个长为 $m$ 的正整数序列 $a$ ，求最多从 $a$ 中选出多少个数，使得这些数的阶乘之积整除 $n\text{！}$

$m,a\le 2\times {10}^5,n\le {10}^9$

解法

可知，当 $a_1<a_2$ 的时候，$a_1\text{!}|a_2\text{!}$，所以可以贪心地将按照从小到大的顺序选择 $a$ 。整除问题，考虑分解质因数。因为 $a$ 的值域较小，以此入手，预处理出 $2\times {10}^5$ 以内的质数，则以如下方法分解质因数，最后逐个加入，得到答案。

$$n!=\prod _p{p}^{\sum _j\lfloor \frac{n}{j}\rfloor }$$

抽象化方法

• 整除、因数、倍数等问题应该分解质因数

• 对连续信息进行处理的时候。可以以每个元素入手，基于其连续性整体处理。

  例如：区间筛中，以质数入手对区间进行处理

  ​ 本题中，以每个元素入手对进行 $n!$ 进行高效分解

  ​ 处理区间因子个数函数区间和的时候，应该从因子考虑

  连续性息：值域上的区间、前后缀函数

T2

题面

给定一个长度为 $n$ 的序列，每次可以合并其中连续的 $k$ 个并将其异或和写在相应的位置上，直到只剩下一个数，求写下数字之和最小值

$n\le 500,k\le 50$

解法

区间DP

设 $f_{l,r,c}$ 表示在区间 $l\sim r$ 中合并成 $c$ 个数的最小值，易得状态转移方程

$$\begin{array}{rlr}{f}_{l,r,c}& =\underset{l\le j<r}{min}{f}_{l,j,1}+f_{j+1,r,c-1}& c\ne 1\\ & =\underset{l\le j<r}{min}{f}_{l,j,1}+f_{j+1,r,c-1}+(qzxor{a}_r\oplus qzxo{r}_{l-1})& c=1\end{array}$$

边界： $f_{i,i,1}=0$

复杂度 $\mathcal{O}(n^{3}k)$ 可以卡过

抽象化方法

• 划分区间——设法二分

  一般的区间DP是将两个区间进行合并，而这个题是将 $k$ 个区间进行合并，于是直接合并的复杂度从 $\mathcal{O}(len)$ 变为了 $\mathcal{O}((\genfrac{}{}{0ex}{}{len}{k}))\simeq \mathcal{O}(len!)$ 。但是$k=1+k-1$，这样就有了上式

T3

题面

给定 $k$ 个区间，求构造满足以下条件的序列 $\{a\}$ 的方案数

1. 序列长度为 $n$
2. $\mathrm{\forall }i\in [1,n],1\le a_i\le m$
3. $\mathrm{\forall }i\in [1,k],[l_i,r_i]$中存在相同的数

$n,m\le {10}^6,k\le 2000$

解法

可以去掉包含的大区间

考虑容斥，一二为通用限制，三为受容斥限制，令 $f_S$ 表示考虑只选 $S$ 中的区间的方案数，则答案为

$$\sum _{S\subset U}(-1{)}^{|S|}{f}_S$$

但这个直接计算的复杂度 $\mathcal{O}(2^k)$ 的

但观察这个式子，发现当我们往 $S$ 中加入一个元素时，其正负号取反，于是我们可以考虑每次往 $S$ 中加入一个元素，进行考虑

对区间按照右端点排序，设 $g_i=\sum _{S\subset \{1,2,\cdots ,i-1\},T=S\cup \{i\}}(-1{)}^{|S|}{f}_T$，其意义为考虑前 $i$ 个区间，确定 $i$ 必选时的不满足条件的区间数，则

$$g_i=m^{l_i-1}{m}^{\underset{―}{r_i-l_i+1}}-\sum _{j<i}\{\begin{array}{rlr}& g_j{m}^{l_i-r_j-1}{m}^{\underset{―}{r_i-l_i+1}}& r_j<l_i\\ & g_j[m-(r_j-l_i+1){]}^{\underset{―}{r_i-r_j}}& r_j\ge l_i\end{array}$$

$$\sum _{S\subset U}(-1{)}^{|S|}{f}_S=m^n-m^{n-r_i}\sum _{i\ge 1}{g}_i$$

抽象化方法

• 集合选择问题——增量法+统一考虑

  在一个全局中选择若干的个元素考虑其价值，可以尝试依次往考虑集合中加入元素，用以前计算的结果更新他。其实就是背包问题的原理

  将集合若干中选法捆绑整体考虑，减少状态。（当然有时不行，例如状压DP）

T4

题面

给定 $m$ 个带权 $c$ 点对 $(a,b)$，支持两种操作：

1. 修改点权
2. 给出 $k$ 个点 $p_i$，求满足 $a\ne p_i\wedge b\ne p_i$ 的点对中第 $x$ 小权值

$a,b,m\le {10}^5,k\le 4$

解法

当 $k=0$ 的时候，本题变为模板题，可用权值线段树与平衡树解决。

当 $k=1$ 的时候，相当于是从全局中去掉了若干个点，所以要使用维护可减性信息的权值线段树。我们可以对全局和每个点分别维护一棵权值线段树，查询的时候作减法

当 $k>1$ 的时候，上述方法可能会使得一条边被减两次，按照容斥的思路，将其加回来就行了。

抽象化方法

• 当一个变量非常小的时候，寻找特例