思想思路集萃

思想思路集萃

继承、状态等量关系、递推

当需要同时求解多个同类的信息，但是这些信息逐个暴力计算会超时的时候，可以尝试发现这些值之间的关联性、建立方程进行递推或者转移。

如果这种递推是从一个更小的范围得来的，那么这就是一种 DP 的求解思路，如果这种递推是在相同或者说等价的范围进行的，这就是一种快速处理多个值的方法。

• 题目：2024.6.12T1、2024.7.11T2、 2024.6.20T2

划归

先得到一种特殊的情况的解法，再尝试将一般情况转化为特殊的一种或者几种情况，进行求解。

• 题目：2024.6.12T2、2024.7.13T2、2024.6.20T1,T2

答案集合、求解转判定

如果直接求解是困难的，可以考虑对一个可能的答案进行判定，不断缩小答案集合，最后得到正确的答案。

这里的直接求解是指，对于已有的信息，进行不断地计算，最后给出的答案是一个正确的答案。而判定的答案不一定是正确的。判定是在不断获取信息，减少可能性。

当答案具有单调性的时候，可以二分的缩小答案集合，当答案不具有单调性的时候，可以通过枚举等方式，检查答案集合。如果有别的性质做到快速缩小答案集合，这自然也可以。

• 题目：2024.6.12T4

贪心、可行性、最优性、有用信息

一种决策一定是最优的，一种状态一定是可行的，这种决策不一定严格优于其他决策，只要不劣于其他决策即可。对答案没有帮助的信息，没有必要考虑。

相同信息、等价状态

反复调用相同的信息，可以考虑先将其计存下来，减少计算时间，或是将相同的信息放在一起，使得调用更加连续，这样将其当作常熟，优化处理。对于等价的状态，只需要算出其中一个状态的答案就行了。

• 题目：2024.6.18T4、2024.7.9T2

划分、分组

将一个事物划分为多个部分，或者将一些状态划分为多组，分别计算出每个部分的答案，最后合起来就是最终的答案。

划分的难点在于如何划分，可以利用划分后状态之间的相关性、无关性进行求解。

相关性可以简化多余计算，比如继承、状态等量关系、递推关系，达到快速计算的效果。

无关性可以使得状态分别处理，特别是当原式相关限制比较复杂的时候，这往往可以从乘法的时间变为加法的时间。

有时我们也可以对数据范围进行划分，在不同的范围下计算使用不同的算法，合并得到答案，比如“根号分治”算法。

• 题目：2024.6.8T2、2024.6.8T3、

平衡

让两个操作的代价平衡，而不是偏向一边。

根号操作分治，根号平衡、许多数据结构都是利用这个想法，但是各种数据结构都是对于单次操作经行平衡的，然而在题目中，会出现一个本身就偏袒的现象，此时便应该向另一边篇，以达到平衡。

• 题目：2024.6.20T3

归纳

当初始合法，当一个状态合法下一个就合法，那么所有都合法。

数学归纳法，多用于证明结论

递归也用到了这个思想。

合并

将两个事物合并为一个，最终成为答案。

• 题目：2024.6.22T3

数形结合

一维为数轴，二维为平面，将数值信息更新为图上信息，得到答案

• 题目：2024.6.25T1

数字化

将题目的要求用数字去描述，可以是转化为一个数学等式，接着用数学的方法处理。