最长单调递增子序列
1.问题描述：
求一个正整数序列的最长单调自增子序列，子序列不要求是连续的。例如
Input：5
5 2 4 3 1
Output：2
2. 算法复杂度是O(N*N)
f[i]是以a[i]为最大值的子序列，那么f[]的最大值就是要的结果。
int f[],a[];
f[0] = 1;
for(i = 1 ; i < n ; i++ )
{
f[i] = 1;
for(j = 0 ; j < i ; j++)
{
If(a[j] < a[i] && f[j]+1 > f[i])//等号有没有要视题目而定
{
f[i] = f[j] +1;
}
}
}
很显然实践复杂度是O(N*N)，那么有没有更快的算法呢？按照正常的思路更快的复杂度应该就是O(N*logN)，那么就要涉及到二分了。
3. 算法复杂度是O(N*logN)
可是话又说回来，那个logN到底怎么实现的呢？上网搜了搜说的都有点抽象，捉摸了一下，是这个样子滴！建立一个辅助数组c[n]，c[i]存储的是子序列长度为i的序列最后一个值（实际上子序列长度为i的子序列有多个，要的是子序列最后一个值最小的。后面解释后什么！！！）。这时要遍历要处理的数组a[n]，for(i=1;i<n;i++)//从第二值开始，因为第一个值用来初始化了
{
j=find(c,n+1,a[i]);//find是一个二分查找
c[j]=a[i];
b[i]=j;
}
请看一下上面的例子实际执行的情况：C数组变化的情况
-1 5
-1 2
-1 2 4
-1 1 2
-1 1 4
-1 1 3
A数组遍历是从前往后的，处理a[i-1]时a[i]以及后面的值肯定还没有处理，前面的值都处理过了，看c数组，每个a数组中的值和c数组中值进行比较，找到合适的位置插入（若插入到c数组的末尾，那么就属于最长递增子序列长度加1，实际上c数组的长度就是最后的最长单调递增子序列的长度。），否则这就替换掉了c数组中原来位置存储的值，这种替换时有意义的，主要是为了后来的a数组中的值计算b用（b[i]中保存的是以a[i]为最后一个元素的最长单调递增子序列。）好处是若a[i] <a[j],b[i]=b[j]，那么在c中肯定要保存a[i]呀！！（注意c数组的下标代表的是子序列的长度，c数组中的值也是按递增顺序排列的。这才可能用二分呢，亲）。和O(N*N)的主要区别就是巧妙的借用了c数组，本题的关键就是理解c数组的意义。可以手动模拟一下算法执行的步骤，重要模拟c和b数组的变化情况。下面给出完整的算法。
#include <iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//二分find
{
int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;
while(left<=right)
{
if(n>a[mid]) left=mid+1;
else if(n<a[mid]) right=mid-1;
else return mid;
mid=(left+right)/2;
}
return left;
}
void fill(int *a,int n)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
a[i]=1000;//这就是一个初始化，无所谓!!
}
int main()
{
int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100];
while(cin>>n)
{
fill(c,n+1);
for(i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
c[0]=-1;//要懂得用这种天然的最小值
c[1]=a[0];//初始化
b[0]=1;//b[i]表示以a[i]结尾的最长单调递增子序列
for(i=1;i<n;i++)//复杂度是N的
{
j=find(c,n+1,a[i]);//复杂度是logN的
c[j]=a[i];
b[i]=j;
}
for(max=i=0;i<n;i++)//遍历一遍找到最大值
if(b[i]>max)
max=b[i];
cout<<max<<endl;
}
return 0;
}
