Luoyoooo

与其感慨路难行，不如马上出发

【数学1】基础数学问题—整除理论（线性筛素数）

原理:素数的倍数一定不是素数

1.埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）

  • 埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛或爱氏筛，是一种由希腊数学家埃拉托斯特尼所提出的一种简单检定素数的算法。要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。
  • 给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......
详细列出算法如下：
  1. 列出2以后的所有序列：
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  2. 标出序列中的第一个素数，也就是2，序列变成：
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  3. 将剩下序列中，划掉2的倍数，序列变成：
    • 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
  4. 如果这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。
  5. 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
  6. 剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划掉，主序列变成：
    • 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
  7. 我们得到的素数有：2，3
  8. 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
  9. 序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划掉，主序列成了：
    • 2 3 5 7 11 13 17 19 23
  10. 我们得到的素数有：2，3，5 
  11. 因为23小于5的平方，跳出循环.
结论：2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23
 
例题：线性筛素数
 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 int n, q;
 5 bool isprime[100000001];
 6 int prime[5000001];//别问 问就是存
 7 int main()
 8 {
 9     memset(isprime, 1, sizeof(prime));//这里赋个值 1代表素数，0代表不是 
10     isprime[1] = 0;//众所周知1不是素数 QAQ
11     cin >> n >> q;//一道题里的 无关算法
12     int cnt = 0;
13     for (int i = 2; i <=n; i++)
14     {
15         if (isprime[i])17             prime[++cnt] = i;//存存存存
18         for (int j = 2; j*i<=n; j++)
19         {
20             isprime[j*i] = 0;
21         }//埃氏筛的精髓
22 23     }
24     for (int i = 0; i < q; i++)
25     {
26         int tmp;
27         cin >> tmp;
28         cout << prime[tmp] << endl;
29     }//输出
30 }

   当然，埃氏筛效率还是低了些。例如一个数 2424，它会被 22, 33, 44 三个数标记，这就重复了两次，更大的数同理。

   时间复杂度 O(n\log\log n)O(nloglogn)，对于 10^8108 的数据，会超时。

2.欧拉筛选

以下原理证明，概述转自学委的博客

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 int n, q;
 6 bool isprime[100000001];
 7 int prime[5000001];
 8 int main()
 9 {
10     memset(isprime, 1, sizeof(isprime));
11     isprime[1] = 0;
12     scanf("%d%d", &n, &q);
13     int cnt = 0;
14     for (int i = 2; i <=n; i++)
15     {
16         if (isprime[i])
17         {
18             prime[++cnt] = i;
19         }
20             for (int j = 1; j<=cnt&&i*prime[j]<=n; j++)
21             {
22                 isprime[i*prime[j]] = 0;
23                 if (i%prime[j] == 0)
24                     break;
25             }
26     }
27     for (int i = 0; i < q; i++)
28     {
29         int tmp;
30         scanf("%d", &tmp);
31         printf("%d\n", prime[tmp]);
32     }
33 }

 

posted @ 2020-03-25 16:13  Luoyoooo  阅读(447)  评论(0)  编辑  收藏  举报