倪文迪陪你学蓝桥杯2021寒假每日一题：1.10日（2017省赛A第8题）
2021年寒假每日一题，2017~2019年的省赛真题。
本文内容由倪文迪（华东理工大学计算机系软件192班）和罗勇军老师提供。
后面的每日一题，每题发一个新博文，请大家看博客目录：https://blog.csdn.net/weixin_43914593
@
2017省赛A类第8题，题目链接：
包子凑数 http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1322
1、题目描述
给出N个整数，每个整数有无限多个。任取一些整数相加，得到大于等于1的数。问有多少个数得不到。如果得不到的有无限多个，输出“INF”；否则输出得不到的数量。
例如给出4、5，它们组合不能得到的数有6个：1, 2, 3, 6, 7, 11。其他的数都能通过4，5组合得到。
看下面的题解前请先自己编码求解。
2、题解
倪文迪的话：“本题为DP，同时考察了素数、最大公约数的性质。如果给出的n个数的最大公约数不为1，必定恒有数字不被覆盖，这一点可以用来判断结果是否为INF。剩下的问题就是n个数的背包，通过状态转移求解即可。”
罗勇军老师的话：题目分两步，（1）判断结果是否为INF；（2）如果不是INF，统计数量。考点是“数论gcd+简单DP”。
2.1 什么时候答案不是INF
什么时候答案不是INF？也就是说，除了少数一些整数无法组合得到，其他所有的整数都能得到。
首先看2个数\(a、b\)的情况，结论是：若\(gcd(a, b) = 1\)，则答案不是INF。
以两个数4、5为例，任取\(x\)个4和\(y\)个5(\(x,y\geq0\))，它们能组合得到的数是：
\(4x+5y=c\)
若把\(c\)看成常数，这是一个二元一次方程。
关于二元一次方程（又称为二元线性丢番图方程），请阅读这篇博文：线性丢番图方程。
博文给出了二元一次方程\(ax + by = c\)有整数解的定理：设\(a，b\)是整数且\(gcd(a, b) = d\)，如果\(d\)不能整除\(c\)，那么方程\(ax + by = c\)没有整数解，如果\(d\)能整除\(c\)，那么存在无穷多个整数解。
显然，如果\(gcd(a, b) = 1\)，由于1能整除所有整数，此时\(ax + by\)能得到所有整数。
在例子\(4x+5y=c\)中，因为\(gcd(4, 5) = 1\)，那么不管\(c\)是什么整数，都存在整数解\(x、y\)，也就是说答案不是INF。
不过，\(x、y\)的解可能是负整数，而本题要求\(x、y\)是非负整数。
下面证明：当\(c\)很大时，肯定有\(x、y\)的非负整数解。
在博文线性丢番图方程中指出，当\(gcd(a, b) = 1\)时，\(ax + by = c\)的通解是：
\(x = x_0 + bn\)
\(y = y_0 - an\)
其中\(n\)是任意整数，而\(x_0\)、\(y_0\)是一个特解，它显然满足：\(ax_0 + by_0 = c\).
两式分别乘以\(a、b\)，得：
\(ax =a x_0 + abn\)
\(by = by_0 - abn\)
取\(n\)是一个正整数，有\(ax =a x_0 + abn\geq0\)，即\(x\)是非负的。而：
\(by=c-ax_0-abn\)
当\(c\)很大时，\(by\)也是非负的，即\(y\)是非负的。
以上证明了\(c\)很大时，存在\(x、y\)的非负整数解。
以上讨论了给定2个数的情况，若给定多个数\(a、b、e、f、\)...可以推导出结论：\(gcd(a,b,e,f,...)=1\)时，答案是非INF。
2.2 统计
给定多个数\(a、b、e、\)...时，计算所有\(ax + by +ez+...\)的值，最后统计出没有被计算出的整数的数量即可。
编码很简单。例如\(a\)，把它所有的倍数\(i=a、2a、3a、......\)都算一遍。\(b、e、\)...也一样。
用\(dp[i]=1\)表示第\(i\)个整数被计算出来了，最后统计没有被算过的\(dp[i]\)。
3、C++代码
OJ运行时间4ms。
//newoj User: ln2037
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 13000;
int a[maxn];
int dp[maxn]={0};
int main() {
int n;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i];
int g = a[1];
for(int i = 2; i <= n; i++) //计算所有数的gcd
g = __gcd(g, a[i]);
if(g != 1) {
cout << "INF";
return 0;
}
for(int i = 1; i <= n; i++) { //dp[i]:第i个整数是否被计算出来
dp[a[i]]= 1;
for(int j = 0; j + a[i] < 10000; j++)
if(dp[j]) {
dp[j + a[i]] = 1;
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i < 10000; i++)
if(dp[i] == 0)
ans++;
cout << ans;
return 0;
}
4、Java代码
OJ上运行时间1.4s。
//newoj User: __admin
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static int gcd(int a, int b) {
if(b == 0) return a;
else return gcd(b, a%b);
}
public static void main(String args[]) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
int[] arr = new int[105];
arr[1] = in.nextInt();
int d = arr[1];
for(int i = 2; i <= n; i++) {
arr[i] = in.nextInt();
d = gcd(d, arr[i]);
}
if(d != 1)
System.out.print("INF");
else {
long dp[] = new long[10005];
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = arr[i]; j <= 10000; j++)
dp[j] += dp[j-arr[i]];
int res = 0;
for(int i = 1; i <= 10000; i++)
if(dp[i] == 0)
res ++;
System.out.print(res+"\n");
}
}
}
5、Python代码
OJ运行时间0.7s。注意看为什么Python代码这么短。
#new oj User: 20192031003
def gcd(a,b):
if b==0:return a
else:return gcd(b,a%b)
n=int(input())
numlist=[]
for i in range(n):
numlist.append(int(input()))
gcdnum=numlist[0]
for i in range(1,n):
gcdnum=gcd(gcdnum,numlist[i])
if gcdnum!=1:
print("INF")
exit()
baozinum=[0]*10001
baozinum[0]=1
for num in numlist:
for i in range(0,10001):
if baozinum[i]==1 and i+num<=10000:
baozinum[i+num]=1
print(10001-sum(baozinum))
