算法第三章上机实践报告

算法第三章上机实践报告

组员：高珞洋，何汶珊

实践题目

7-2 最大子段和
给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时，定义子段和为0。
要求算法的时间复杂度为O(n)。

问题描述

由于要求时间复杂度是O(n)，因此递归的方法被砍，只能另外谋求生计
当时间复杂度为O(n)，第一反应是用一个for循环，但是如何能只用一个for循环得出结果呢？
自然想到在循环遍历的时候将当前最优解存起来，最后进行一个比较，选择最好的那个解
于是就用到动态规划法来解决问题。

算法描述

算法的核心在于递归方程

MaxSum[i] = ele[i]    i=0
MaxSUm[i] = max{ele[i], ele[i] + MaxSum[i - 1]}     0 < i < n

因此着重讲解递归方程的求得过程
首先对原输出和辅助记录空间进行定义

ele[i]:序列的第i - 1个元素，i从0开始（数组下标）
MaxSum[i]:从ele[0]，以ele[i]为尾数的最大子段和（可能不包括ele[0],ele[1]....ele[i - 1]）

然后我们分析最开始的情况，从第一个数开始
第一个数有两种情况，小于等于或0大于0。若小于等于0，则最大子段和必不包括它，因为它是第一个数。如果是大于0，则最大子段和有可能包括它。
然后到第二个数，先不管第二个数的正负，根据上一条，如果第一个数ele[0]大于0，那么序列{ele[0],ele[1]}对应的MaxSum[1]=ele[0]+ele[1]；如果ele[0]小于0，对应的MaxSum[1]=ele[1]，及最大子段和为本身，因为前面只有一个数还小于0，所以必不要它
再看第三个数，在这时候我们将前面的所有数，不管有多少个（现在是两个），都抽象成“前面的数”，它的值为MaxSum[i-1]。那么我们的第三个数就会变成“前面的数”的后面那个数，也就变成了“第二个数”。那么根据上面第二个数的判断，如果“前面的数”小于0，那么“前面的数”都不要了，其最大子段和为本身；反之，最大子段和为“前面的数”加上本身。
也就是说，当前我们看第i个数ele[i]，这个数之前的最大子段和为MaxSum[i - 1]，如果MaxSum[i - 1] < 0，那么以ele[i]为尾数的最大子段和MaxSum[i]必为ele[i]，否则，其为
为统一，我们将第一个数的最大子段和定义为其本身，即：

MaxSum[0] = ele[0]  

注意，这里有个坑，就是以ele[i]结尾的序列，他的最大子段和不一定包括ele[i]。很多在上面的推导过程中都发现了，序列{ele[0],ele[1]}的最大序列可以是ele[0]（ele[0]>0, ele[1] < 0）。 而我们MaxSum存的是以ele[i]为尾数的最大子段和，因此MaxSum的最后一个数MaxSum[n]并非最终答案。序列{ele[0],ele[1]...ele[n]}的最大子段和可能为{ele[i],ele[i+1]...ele[j]}（0<i<j<n），那么最终答案应该是MaxSum[j]。
因此我们需要额外一个变量来存放MaxSum中的最大值（当然你也可以得到MaxSum后遍历找最大）。

算法时间及空间复杂度

时间复杂度

无非就是循环判断，T(n) = O(n)

空间复杂度

需要一个和原序列等大的辅助空间来记录，S(n) = O(n)

心得体会

动态规划实际上没有很复杂，代码量也非常少。辅助空间的存在省去了很多额外的计算步骤，这是它在计算量和时间程度优于递归的原因之一。
和分治法不同的是，动态规划的子问题不是相互独立的。比如在这道题中，去掉每个序列的最后一个数所得到的新的序列就是一个新的子问题，可以看出他们存在包含的关系。
动态规划法的难点在于求解递归方程，说实话递归方程出来后，代码的编写一气呵成。大部分时间还是花在了分析问题、求解递归方程上。
所以递归方程是利用动态规划法解题的核心。

核心源码

for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (i == 0) {
			maxSum[i] = elements[i];
		}
		else
		{
			maxSum[i] = max(elements[i], (elements[i] + maxSum[i - 1]));
		}
		if (maxSum[i] > maxResult) {
			maxResult = maxSum[i];    //maxResult为额外存放MaxSum中最大值的变量
		}
	}