回文树学习笔记
首先,回文树有何功能?
假设我们有一个串S,S下标从0开始,则回文树能做到如下几点:
1.求串S前缀0~i内本质不同回文串的个数(两个串长度不同或者长度相同且至少有一个字符不同便是本质不同)
2.求串S内每一个本质不同回文串出现的次数
3.求串S内回文串的个数(其实就是1和2结合起来)
4.求以下标i结尾的回文串的个数
模板:
const int MAXN = 100005 ;
const int N = 26 ;
struct Palindromic_Tree {
//cnt最后count一下之后是那个节点代表的回文串出现的次数
int next[MAXN][N] ;//next指针,next指针和字典树类似,指向的串为当前串两端加上同一个字符构成
int fail[MAXN] ;//fail指针,失配后跳转到fail指针指向的节点
int cnt[MAXN] ; //表示节点i表示的本质不同的串的个数(建树时求出的不是完全的,最后count()函数跑一遍以后才是正确的)
int num[MAXN] ; //表示以节点i表示的最长回文串的最右端点为回文串结尾的回文串个数
int len[MAXN] ;//len[i]表示节点i表示的回文串的长度(一个节点表示一个回文串)
int S[MAXN] ;//存放添加的字符
int last ;//指向新添加一个字母后所形成的最长回文串表示的节点。
int n ;//表示添加的字符个数。
int p ;//表示添加的节点个数。
int newnode ( int l ) {//新建节点
for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;
cnt[p] = 0 ;
num[p] = 0 ;
len[p] = l ;
return p ++ ;
}
void init () {//初始化
p = 0 ;
newnode ( 0 ) ;
newnode ( -1 ) ;
last = 0 ;
n = 0 ;
S[n] = -1 ;//开头放一个字符集中没有的字符,减少特判
fail[0] = 1 ;
}
int get_fail ( int x ) {//和KMP一样,失配后找一个尽量最长的
while ( S[n - len[x] - 1] != S[n] ) x = fail[x] ;
return x ;
}
void add ( int c ) {
c -= 'a' ;
S[++ n] = c ;
int cur = get_fail ( last ) ;//通过上一个回文串找这个回文串的匹配位置
if ( !next[cur][c] ) {//如果这个回文串没有出现过,说明出现了一个新的本质不同的回文串
int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建节点
fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ;//和AC自动机一样建立fail指针,以便失配后跳转
next[cur][c] = now ;
num[now] = num[fail[now]] + 1 ;
}
last = next[cur][c] ;
cnt[last] ++ ;
}
void count () {
for ( int i = p - 1 ; i >= 0 ; -- i ) cnt[fail[i]] += cnt[i] ;
//父亲累加儿子的cnt,因为如果fail[v]=u,则u一定是v的子回文串!
}
} ;
例题1.BZOJ3676
题意
求一个字符串中所有回文子串的出现次数与长度乘积的最大值
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=3e5+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
const int N=26;
struct PalTree{
int next[maxn][N];///指向的串威当前串两端加上同一个字符构成
int fail[maxn];///fail指针,失配后跳转的fail指针指向的结点
int cnt[maxn];///表示结点i表示的本质不同的串的个数(不全的最后count()跑一边才是正确的
int num[maxn];///表示以结点i表示的最长最长回文串的最右端点为为回文结尾的回文串个数
int len[maxn];///len[i]表示结点i表示的回文串长度
int S[maxn];///存放添加的字符
int last;///指向新添加一个字母后形成的最长回文串表示的结点
int n;///表示添加的字符个数
int p;///表示添加的结点个数
int newnode(int l){///新建结点
for(int i=0;i<N;i++)next[p][i]=0;
cnt[p]=0;
num[p]=0;
len[p]=l;
return p++;
}
void init(){
p=0;
newnode(0);
newnode(-1);
last=0;
n=0;
S[n]=-1;
fail[0]=1;
}
int get_fail(int x){
while(S[n-len[x]-1]!=S[n])x=fail[x];
return x;
}
void add(int c){
c-='a';
S[++n]=c;
int cur=get_fail(last);///通过上一个回文串找到这个回文串的匹配位置
if(!next[cur][c]){///如果这个串没出现过,说明出现了一个新的本质不同的回文串
int now=newnode(len[cur]+2);
fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];
next[cur][c]=now;
num[now]=num[fail[now]]+1;
}
last=next[cur][c];
cnt[last]++;
}
void count(){
for(int i=p-1;i>=0;i--)cnt[fail[i]]+=cnt[i];
}
}pat;
char s[maxn];
int main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
cin>>s;
int len=strlen(s);
pat.init();
for(int i=0;i<len;i++){
pat.add(s[i]);
}
pat.count();
ll ret=0;
for(int i=1;i<pat.p;i++){
ret=max(ll(1LL*pat.len[i]*pat.cnt[i]),ret);
}
cout<<ret<<endl;
return 0;
}
例题2 UVA7041
题意
给出两个仅包含小写字符的字符串 A 和 B ;
求:对于 A 中的每个回文子串,B 中和该子串相同的子串个数的总和。
从0和1两个根节点DFS下去,如果两个相同的节点同时存在就统计答案。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=4e5+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
const int N=26;
struct PalTree{
int next[maxn][N];///指向的串威当前串两端加上同一个字符构成
int fail[maxn];///fail指针,失配后跳转的fail指针指向的结点
int cnt[maxn];///表示结点i表示的本质不同的串的个数(不全的最后count()跑一边才是正确的
int num[maxn];///表示以结点i表示的最长最长回文串的最右端点为为回文结尾的回文串个数
int len[maxn];///len[i]表示结点i表示的回文串长度
int S[maxn];///存放添加的字符
int last;///指向新添加一个字母后形成的最长回文串表示的结点
int n;///表示添加的字符个数
int p;///表示添加的结点个数
int newnode(int l){///新建结点
for(int i=0;i<N;i++)next[p][i]=0;
cnt[p]=0;
num[p]=0;
len[p]=l;
return p++;
}
void init(){
p=0;
newnode(0);
newnode(-1);
last=0;
n=0;
S[n]=-1;
fail[0]=1;
}
int get_fail(int x){
while(S[n-len[x]-1]!=S[n])x=fail[x];
return x;
}
void add(int c){
c-='a';
S[++n]=c;
int cur=get_fail(last);///通过上一个回文串找到这个回文串的匹配位置
if(!next[cur][c]){///如果这个串没出现过,说明出现了一个新的本质不同的回文串
int now=newnode(len[cur]+2);
fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];
next[cur][c]=now;
num[now]=num[fail[now]]+1;
}
last=next[cur][c];
cnt[last]++;
}
void count(){
for(int i=p-1;i>=0;i--)cnt[fail[i]]+=cnt[i];
}
}pat1,pat2;
ll dfs(int a,int b){
ll ret=0;
for(int i=0;i<N;i++)if(pat1.next[a][i]!=0&&pat2.next[b][i]!=0)
ret+=(ll)pat1.cnt[pat1.next[a][i]]*pat2.cnt[pat2.next[b][i]]
+dfs(pat1.next[a][i],pat2.next[b][i]);
return ret;
}
char s1[maxn],s2[maxn];
int main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
int t,cas=0;
cin>>t;
while(t--){
cin>>s1>>s2;
pat1.init();
pat2.init();
int len1=strlen(s1);
int len2=strlen(s2);
for(int i=0;i<len1;i++)pat1.add(s1[i]);
for(int i=0;i<len2;i++)pat2.add(s2[i]);
pat1.count();pat2.count();
ll ret=dfs(0,0)+dfs(1,1);
cout<<"Case #"<<++cas<<": ";
cout<<ret<<endl;
}
return 0;
}
例题3ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 Skr
题意
给出一个数字串,求其本质不同的回文子串的和。
在回文树建立的过程中自带去重,所以只需要跑一遍记录答案就好了。
奇根下直接连接的节点所代表的的都是单个字符的回文串,其他都是在两边加上同一个字符,用这个规律去生成数字求和就好了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=2e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
const int N=10;
ll modpow(ll a,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=(ans*a)%mod;
b>>=1;
a=(a*a)%mod;
}
return ans;
}
struct PalTree{
int next[maxn][N];///指向的串威当前串两端加上同一个字符构成
int fail[maxn];///fail指针,失配后跳转的fail指针指向的结点
int cnt[maxn];///表示结点i表示的本质不同的串的个数(不全的最后count()跑一边才是正确的
int num[maxn];///表示以结点i表示的最长最长回文串的最右端点为为回文结尾的回文串个数
int len[maxn];///len[i]表示结点i表示的回文串长度
int S[maxn];///存放添加的字符
int last;///指向新添加一个字母后形成的最长回文串表示的结点
int n;///表示添加的字符个数
int p;///表示添加的结点个数
ll sum[maxn];
int newnode(int l){///新建结点
for(int i=0;i<N;i++)next[p][i]=0;
cnt[p]=0;
num[p]=0;
len[p]=l;
sum[p]=0;
return p++;
}
void init(){
p=0;
newnode(0);
newnode(-1);
last=0;
n=0;
S[n]=-1;
fail[0]=1;
}
int get_fail(int x){
while(S[n-len[x]-1]!=S[n])x=fail[x];
return x;
}
void add(int c){
c-='0';
S[++n]=c;
int cur=get_fail(last);///通过上一个回文串找到这个回文串的匹配位置
if(!next[cur][c]){///如果这个串没出现过,说明出现了一个新的本质不同的回文串
int now=newnode(len[cur]+2);
fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];
next[cur][c]=now;
num[now]=num[fail[now]]+1;
sum[now]=(sum[cur]*10*1LL)%mod;
sum[now]=(sum[now]+c)%mod;
if(len[cur]>=0)sum[now]=(sum[now]+(c*modpow(10*1LL,len[now]-1))%mod)%mod;
}
last=next[cur][c];
cnt[last]++;
}
void count(){
for(int i=p-1;i>=0;i--)cnt[fail[i]]+=cnt[i];
}
}pat;
char s[maxn];
int main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
cin>>s;
pat.init();
int len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++)pat.add(s[i]);
ll anw=0;
for(int i=0;i<pat.p;i++)anw=(anw+pat.sum[i])%mod;
cout<<anw<<endl;
return 0;
}
例题4 HIHO#1602 : 本质不同的回文子串的数量
给定一个字符串S,请统计S的所有子串中,有多少个本质不同的回文字符串?
cin>>s;
pat.init();
int len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++)pat.add(s[i]);
ll anw=0;
pat.count();
cout<<pat.p-2<<endl;
return 0;