位运算实现加减乘除、求补、比较、正负判断
位运算的思想可以应用到很多地方，这里简单的总结一下用位运算来实现整数的四则运算。
1.整数的加法
- int MyAdd(int a,int b)
- {
- for(int i=1;i;i<<=1)
- if(b&i)
- for(int j=i;j;j<<= 1)
- if(a&j) a&=~j;
- else {a|=j;break;}
- return a ;
- }
我的思路主要是利用a+1的位运算就是最左端（从第0位开始向左）连续的1变为0，原先a中为0的位置最低那一位变为1。
在不同的位上加1，那就是从相应的位开始向左计算，右边不变。
下面还有一个网上的思路，我觉得这个更好：
- int AddWithoutArithmetic(int num1,int num2)
- {
- if(num2==0) return num1;//没有进位的时候完成运算
- int sum,carry;
- sum=num1^num2;//完成第一步没有进位的加法运算
- carry=(num1&num2)<<1;//完成第二步进位并且左移运算
- return AddWithoutArithmetic(sum,carry);//进行递归，相加
- }
简化一下：
- int Add(int a,int b) { b?return Add(a^b,(a&b)<<1):return a; }
上面的思路就是先不计进位相加，然后再与进位相加，随着递归，进位会变为0，递归结束。
2.整数的减法
这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。
- int MyMinus(int a,int b)
- {
- for(int i=1;i&&((b&i)==0);i<<=1);
- for(i<<=1;i;i<<=1) b^=i;
- return MyAdd(a,b);
- }
3.整数的乘法
乘法就是将乘数写成(2^0)*k0 + (2^1)*k1 + (2 ^2)*k2 + ... + (2^31)*k31，其中ki为0或1，然后利用位运算和加法就可以了。
- int MyMul(int a,int b)
- {
- int ans=0;
- for(int i=1;i;i<<=1,a<<=1)
- if(b&i)
- ans+=a;
- return ans;
- }
4.整数除法（正整数）
除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。
- int MyDiv(int x,int y)
- {
- int ans=0;
- for(int i=31;i>=0;i--)
- {
- //比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出
- if((x>>i)>=y)
- {
- ans+=(1<<i);
- x-=(y<<i);
- }
- }
- return ans;
- }
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加减乘除位运算
// 程序中实现了比较大小、加减乘除运算。所有运算都用位操作实现
// 在实现除法运算时，用了从高位到低位的减法
// 具体如下，算法也比较简单，所以没有作注释
#include <iostream>
using namespace std;
// 加法
int add( int a, int b )
{
int c;
while( c = (a&b) )
{
a = (a^b);
b = (c<<1);
}
return (a^b);
}
// 求补码
int rev( int a )
{
return add((~a), 1);
}
// 判断正负
int ispos( int a )
{ // 正
return (a&0xFFFF) && !(a&0x8000);
}
int isneg( int a )
{ // 负
return a&0x8000;
}
int iszero( int a )
{ // 0
return !(a&0xFFFF);
}
// 比较两个正数的大小（非负也可）
int isbig_pos( int a, int b )
{ // a>b>0
int c = 1;
b = (a^b);
if( iszero(b) ) return 0;
while( b >>= 1 )
{
c <<= 1;
}
return (c&a);
}
// 比较两个数的大小
int isbig( int a, int b )
{ // a>b
if( isneg(a) )
{
if( isneg(b) )
{
return isbig_pos( rev(b), rev(a) );
}
return 0;
}
if( isneg(b) ) return 1;
return isbig_pos(a, b);
}
// 减法
int sub( int a, int b )
{
return add(a, rev(b));
}
// 正数乘法
int pos_mul( int a, int b )
{
int c = 0x8000;
int re = a;
while( (c>>=1) && (!(b&c)) );
while( c >>= 1 )
{
re <<= 1;
if( c&b )
re = add(re, a);
}
return re;
}
// 乘法
int mul( int a, int b )
{
if( iszero(a) || iszero(b) ) return 0;
if( ispos(a) && ispos(b) )
return pos_mul(a, b);
if( isneg(a) )
{
if( isneg(b) )
{
return pos_mul( rev(a), rev(b) );
}
return rev( pos_mul( rev(a), b ) );
}
return rev( pos_mul(a, rev(b)) );
}
// 正数除法
int pos_div( int a, int b)
{
int re = 0, temp = b;
if( isbig_pos(b, a)) return 0;
do{
temp <<= 1;
}while( !isbig_pos(temp, a) );
while( isbig_pos(temp, b) )
{
re <<= 1;
temp >>= 1;
if( !isbig_pos(temp, a))
{
a = sub(a, temp);
re = add(re, 1);
}
}
return re;
}
// 除法
int idiv( int a, int b )
{
if( iszero(b) )
{
cout << "error" << endl;
exit(1);
}
if( iszero(a) ) return 0;
if( ispos(a) )
{
if( ispos(b) )
return pos_div(a, b);
return rev( pos_div( a, rev(b)) );
}
if( ispos(b) )
return rev( pos_div( rev(a), b ) );
return pos_div( rev(a), rev(b) );
}
int main ()
{
int a, b;
while( cin >> a >> b)
{
if(isbig(a,b)&&(a<=b)) cout << "big error" << endl;
if(add(a,b) != (a+b)) cout << "add error" << endl;
if(sub(a,b) != (a-b)) cout << "sub error" << endl;
if(mul(a,b) != (a*b)) cout << "mul error" << endl;
if(idiv(a,b) != (a/b)) cout << "div error" << endl;
}
return 0;
}
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加法是这样的
int add(int a,int b){int c;while(c=a&b){ a=a^b;b=c<<1;}return a^b;}
乘法是这样 的
int cheng(int a,int b){ int c,i;c=0;
for(i=0;i<16;i++){if(b&(1<<i)c=add(c,a<<i));}
return c;}
zv的计算机组成原理学得好,给出了一个思路.
我记性不坏,还记得以前曾见过的算法,于是:
代码
（2005年）32．用原码加减交替一位除法进行7÷2运算。要求写出每一步运算过程及运算结果。
循环 步骤 余数（R0 R1）
0 初始值 0000 0111
左移，商0 0000 1110
1 减0011 1101 1110
加0011，商0 0000 1110（0）
左移1位 0001 1100
2 减0011 1110 1100
加0011，商0 0001 1100（0）
左移1位 0011 1000
3 减0011 0000 1000
商1 0000 1000（1）
左移1位 0001 0001
4 减0011 1110 0001
加0011，商0 0001 0001（0）
左移1位 0010 0010
R0右移1位 0001 0010
所以，商是0010，即2；余数是0001，即1。
以及:
代码
这是一种实现，只能整除，并且肯定有问题：
#include <stdio.h>
unsigned int div (unsigned int a, unsigned int b)
{
int i;
unsigned int m = 0;
for (i = 1; i <= 32; i++)
{
m = (m << 1) | (a >> 31);
a = a << 1;
if (m >= b)
{
m = m - b;
a = a + 1;
}
}
return a;
}
int main(int argc,char **argv)
{
int a , b;
scanf("%d, %d", &a, &b);
printf("a = %d\n", div(a, b));
}
虽然我和zv的大致思路没问题,但是,注意了,实现除法的算法有很多种.
这里,悬赏2000盾盾,寻求其它的除法思路--即便最后没选上,认真参与并讨论的,也有额外的盾盾奖励!
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修改了之后的代码,这仅仅是众多算法中的一种而已:
代码
#include <stdio.h>
int add (int a, int b)
{
int c;
while (c = a & b)
{
a = a ^ b;
b = c << 1;
}
return a ^ b;
}
unsigned int idiv (unsigned int a, unsigned int b)
{
int i;
unsigned int m = 0;
for (i = 1; i <= 32; i++)
{
m = (m << 1) | (a >> 31);
a = a << 1;
if (m >= b)
{
m = add (m, -b); //m = m - b;
a = add (a, 1); //a = a + 1;
}
}
return a;
}
int main (int argc, char **argv)
{
int a , b;
scanf ("%d, %d", &a, &b);
printf ("a = %d\n", idiv(a, b));
return 0;
}
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琢磨了一个，写得有点匆忙，没做什么优化，先贴上来了，大家给提提意见
代码
/*
* SpeedyDivision 算法描述
*
* 1、接收被除数与除数
* 2、如果除数为零，退出
* 3、如果被除数等于除数，商置1，余数置0，退出
* 4、如果被除数小于除数，商置0，余数置0，退出
* 5、如果被除数小于0，作标记，被除数置为其绝对值
* 6、如果除数小于0，作标记，除数置为其绝对值
* 7、如果除数等于1，商置为被除数的值，余数置0，商取标记的符号，退出
* 8、下面进行快速移位计算
*
* A、快速移位算法的循环次数为 [被除数数据类型的位数 / _MV_BITS]
* B、计算每次移位需要取得的被除数最高_MV_BITS位的掩码
* 如：
* 当 _MV_BITS = 8 时，假设 sizeof( int ) * 8 = 32 位
* 则掩码为 0xFF000000
* C、进入主循环
* D、余数缓存左移_MV_BITS位
* 余数缓存低_MV_BITS位填入被除数最高_MV_BITS位
* 被除数左移_MV_BITS位
* 商左移_MV_BITS位
* E、如果余数缓存的值小于除数，则回到D
* F、如果余数缓存的值大于除数，则在余数缓存中减去除数一次，商增加1，再判断余数缓存与除数的大小，直到余数缓存小于除数
* 相当于如下循环：（注1）
* while( n_remainder >= n_divisor ) {
* n_remainder = add( n_remainder, -n_divisor );
* n_quotient = add( n_quotient, 1 );
* }
* G、判断主循环结束条件属否到达（是否已到达了算法要求的循环次数[被除数数据类型的位数 / _MV_BITS]）
* 如果没到达，回到D
* H、结束循环
*
* 9、商及余数取标记的符号，输出之
* 10、结束
*
*
* 注1：
* F步骤的移位实现如下
*
* 如果 n_remainder >= n_divisor，则
* 设置除数左移次数缓冲 n_try，置初始值为0
* 设置除数左移后的值的n_try_value缓冲，置初始值为除数的值
* 循环判断n_remainder >= n_try_value，
* 每循环一次，除数左移次数n_try增加1，同时除数左移n_try次，并将值填入缓冲n_try_value中
* 退出循环后，最后一次左移是多出来的，减去，即 n_try --；
*
* 计算除数的2的n次方最大倍数使除数与此倍数的积小于等于被除数
* 用循环尝试找出大于等于上述最大积且小于被除数的除数与实际商N的最大积，其中N = 上述最大倍数 + 有效尝试次数
* 计算中间余数
*
*/
/*
* SpeedyDivision 算法实现
*
* by Neil
* 2006.10.20
*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define _USAGE printf( "NOTE : Setting divisor to zero is not allowed.\n" );
// 每次移位操作移动的位数, 最大不超过 sizeof( int ) * 8
// 取值为 2 的 n 次方， n >= 0
#define _MV_BITS 8
int add( int, int );
int SpeedyDivision( int, int, int *, int * );
int CheckErr();
int main( int argc, char* argv[] ) {
int n_dividend = 0, n_divisor = 0;
int n_remainder = 0, n_quotient = 0;
int n_magic = 1, n_magic_r = 1;
if( argc != 1 ) {
_USAGE
return( 1 );
}
// for debuging
// return( CheckErr() );
printf( "Please input dividend and divisor(separating them by one or more space key):\n" );
fflush( stdin );
scanf( "%d %d", &n_dividend, &n_divisor );
if( ! n_divisor ) {
_USAGE
return( 1 );
}
printf( "%d / %d\n", n_dividend, n_divisor );
if( n_dividend == n_divisor ) {
n_quotient = 1;
n_remainder = 0;
} else if( n_dividend < n_divisor ) {
n_quotient = 0;
n_remainder = 0;
} else {
if( n_dividend ) {
if( n_dividend < 0 ) {
n_dividend *= -1;
n_magic *= -1;
n_magic_r = -1;
}
if( n_divisor < 0 ) {
n_divisor *= -1;
n_magic *= -1;
n_magic_r = -1;
}
if( n_divisor == 1 ) {
n_quotient = n_dividend;
} else {
SpeedyDivision( n_dividend, n_divisor, &n_remainder, &n_quotient );
}
}
}
n_quotient *= n_magic;
n_remainder *= n_magic_r;
printf( "quotient = %d, remainder = %d\n", n_quotient, n_remainder );
return( 0 );
}
int SpeedyDivision( int n_dividend, int n_divisor,
int * lp_remainder, int * lp_quotient ) {
int n_bits = sizeof( int ) * 8;
int n_remainder = 0, n_quotient = 0;
int n_mv_times = 0, n_loop = 0;
unsigned int n_mask = 0xff;
int n_try = 0, n_try_value = 0;
// 快速移位算法的移位次数为 [位数 / _MV_BITS]
n_mv_times = n_bits / _MV_BITS;
// 计算每次移位需要取得的被除数最高_MV_BITS位的掩码 n_mask
n_loop = 0;
while( n_loop < ( n_bits / 8 ) ) {
n_mask |= ( n_mask << 8 );
n_loop ++;
}
n_mask = n_mask << ( add( n_bits, -_MV_BITS ) );
n_loop = 0;
while( n_loop < n_mv_times ) {
n_remainder = n_remainder << _MV_BITS;
n_remainder |= ( ( n_dividend & n_mask ) >> ( add( n_bits, -_MV_BITS ) ) );
n_dividend = n_dividend << _MV_BITS;
n_quotient = n_quotient << _MV_BITS;
if( n_remainder >= n_divisor ) {
n_try = 0;
n_try_value = n_divisor << n_try;
// 计算除数左移的有效次数
while( n_remainder >= n_try_value ) {
n_try = add( n_try, 1 );
n_try_value = n_divisor << n_try;
}
// 退出循环前的最后一次移位是无效的，减去
n_try = add( n_try, -1 );
// 计算除数的2的n次方最大倍数使得除数与此倍数的积小于等于余数缓存区的值
n_quotient = add( n_quotient, (int)pow( 2, n_try ) );
// 除数与上述最大倍数的积(最大积)
n_try_value = n_divisor << n_try;
// 用循环尝试找出大于等于上述最大积且小于余数缓存区的值的除数与中间商N的最大积，
// 其中N = 上述最大倍数 + 有效尝试次数
while( n_remainder >= n_try_value ) {
// 每次增加一次除数
n_try_value = add( n_try_value, n_divisor );
if( n_remainder >= n_try_value ) {
// 计算中间商
n_quotient = add( n_quotient, 1 );
}
}
// 退出循环前加的那次是多余的,减去,得到小于等于余数缓存区的值的除数与中间商N的积
n_try_value = add( n_try_value, -n_divisor );
// 计算中间余数
n_remainder = add( n_remainder, -n_try_value );
}
n_loop ++;
}
// 返回实际商与余数
* lp_remainder = n_remainder;
* lp_quotient = n_quotient;
return( 0 );
}
int add( int a, int b ) {
int c = 0;
while ( c = a & b) {
a = a ^ b;
b = c << 1;
}
return a ^ b;
}
int CheckErr( void ) {
int n_dividend = 0, n_divisor = 0;
int n_remainder = 0, n_quotient = 0;
int loop = 2, nmax = 2147483647;
int loop2 = 2;
while( loop <= nmax ) {
n_dividend = loop;
loop2 = 2;
while( loop2 <= loop ) {
n_divisor = loop2;
SpeedyDivision( n_dividend, n_divisor, &n_remainder, &n_quotient );
if( ( n_quotient * n_divisor + n_remainder ) != n_dividend ) {
printf( "Error : %d / %d = %d, remainder = %d\n",
n_dividend, n_divisor, n_quotient, n_remainder );
return( -1 );
}
loop2 ++;
}
loop ++;
if( ( loop % 100000 ) == 0 ) {
printf( "%d - %d is ok.\n", loop - 100000 + 1, loop );
}
}
printf( "2 - 2147483647 is ok.\n" );
return( 0 );
}
其中 add 方法我就偷懒照搬花总写的了（让我想我也想不出更好的啦，嘎嘎），这个算法我个人觉得唯一可取之处就是左移不是一次一位的移了，这样对于左移的时间和次数都减少了，不过貌似对内存空间的要求增加了，我还没有仔细比对，先发着大家砸吧，呵呵
我真是木瓜脑袋，被移位给框死了，只想到能比一位一位地快就好，所以给出了上面那个代码，刚才又仔细看了几遍，突然发现如果 _MV_BITS 设置为 sizeof( int ) * 8，移位一次就相当如把被除数整个移进了余数缓冲区，其效果就是外层循环次数为1，也就是说，真正起作用的是内层 if 里的内容。。。我被自己郁闷到了 55555555555555
修改后的代码如下：（只给出了 SpeedyDivision2 函数，其他几乎一样的）
代码
int SpeedyDivision2( int n_dividend, int n_divisor,
int * lp_remainder, int * lp_quotient ) {
int n_remainder = 0, n_quotient = 0;
int n_try = 0, n_try_value = 0;
n_remainder = n_dividend;
n_try = 0;
n_try_value = n_divisor << n_try;
// 计算除数左移的有效次数
while( n_remainder >= n_try_value ) {
n_try = add( n_try, 1 );
n_try_value = n_divisor << n_try;
}
// 退出循环前的最后一次移位是无效的，减去
n_try = add( n_try, -1 );
// 计算除数的2的n次方最大倍数使得除数与此倍数的积小于等于被除数
n_quotient = add( n_quotient, (int)pow( 2, n_try ) );
// 除数与上述最大倍数的积(最大积)
n_try_value = n_divisor << n_try;
// 用循环尝试找出大于等于上述最大积且小于等于被除数的除数与实际商N的最大积，
// 其中N = 上述最大倍数 + 有效尝试次数
while( n_remainder >= n_try_value ) {
// 每次增加一次除数
n_try_value = add( n_try_value, n_divisor );
if( n_remainder >= n_try_value ) {
// 计算实际商
n_quotient = add( n_quotient, 1 );
}
}
// 退出循环前加的那次是多余的,减去,得到小于等于被除数的除数与实际商N的积
n_try_value = add( n_try_value, -n_divisor );
// 计算实际余数
n_remainder = add( n_remainder, -n_try_value );
// 返回实际商与余数
* lp_remainder = n_remainder;
* lp_quotient = n_quotient;
return( 0 );
}
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锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年
庄生晓梦迷蝴蝶，望帝春心托杜鹃
沧海月明珠有泪，蓝田日暖玉生烟
此情可待成追忆，只是当时已惘然
举个例子,就以add函数的实现算法来说吧,前面两份代码都是这样的方法:
代码
int add (int a, int b)
{
int c;
while (c = a & b)
{
a = a ^ b;
b = c << 1;
}
return a ^ b;
}
可是难道就没别的办法了吗?
以c99为例,支持动态数组的c99里,我们可以这样:
代码
int add(int m, int n)
{
int inc (int num)
{
struct {
char a[num];
char b;
} *s;
return sizeof(*s);
}
while(m--)
{
n = inc (n);
}
}
注意到其中的inc函数了吗?它可以实现num+=1的功能(想想,为什么?).
然后循环加m次,是不是就可以实现m+n了呢?
这就是一种有效的方法.
注意了,这种方法虽然可行--但是:
1) 速度超级慢,不信你们去算算10/2看看
2) m--用到了自减运算符号,好象不符合规定
于是,我们可以这样:
代码
int add(int m, int n)
{
struct {
char a[m];
char b[n];
} *s;
return sizeof(*s);
}
速度就快很多了,并且还没有使用任何的加减乘除运算符号与关键字.
最后,我们就可以得到改变了的代码:
代码
#inlcude <stdio.h>
int add(int m, int n)
{
struct {
char a[m];
char b[n];
} *s;
return sizeof(*s);
}
unsigned int idiv (unsigned int a, unsigned int b)
{
int i;
unsigned int m = 0;
for (i = 1; i <= 32; i++)
{
m = (m << 1) | (a >> 31);
a = a << 1;
if (m >= b)
{
m = add (m, -b); //m = m - b;
a = add (a, 1); //a = a + 1;
}
}
return a;
}
int main (int argc, char **argv)
{
int a , b;
scanf ("%d, %d", &a, &b);
printf ("a = %d\n", idiv(a, b));
return 0;
}
也许,找到新的除法算法不是那么的简单,2000盾盾不是那么好拿的.
但是,要想在已有代码/算法的基础上改进和讨论,我想大家都改做得到,只要多动动脑子就可以了.
为什么不呢?
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有点没法理解 char b[-1]; 的含义。。。
主要是因为我没在C里面用过动态数组，不知道是否可以用负数来定义数组大小
我以前碰到需要动态改变大小的数组的需求，都是用动态分配内存手动来实现之。。。汗一个先。
就如花总所说，我就先从怎么折腾 add() 方法琢磨吧，呵呵
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一个 add() 函数
代码
int add( int a, int b) {
int rst = 0;
_asm {
XOR EAX, EAX
XOR EBX, EBX
XOR ECX, ECX
MOV EAX, a
MOV EBX, b
CMP EBX, 0
JL less0 // b < 0
JE last // b == 0
// b > 0
MOV ECX, b
again:
INC EAX
LOOP again
JMP last
less0:
// b < 0
MOV ECX, a
dummy:
CMP EBX, 0
JE over
INC EBX
LOOP dummy
over:
CMP ECX, 0
JE bLarge
MOV EAX, ECX
JMP last
bLarge:
MOV EAX, EBX
last:
MOV rst, EAX
}
return( rst );
}
INC 和 ADD 还是有点区别di，一个是一个操作数，一个是2个操作数
当然，我用INC及ECX绕过使用ADD是有点投机取巧，我再想想吧。。。头疼啊，当年没学过算法。。。5555
也抽点时间顺便写个加法和乘法吧,减法就是加法了,除法就是花哥那个了.就不花时间了.
代码
int add(int a, int b)
{
int c;
do{
c = a ^ b;
b = a & b;
a = c;
}while(b <<= 1);
return c;
}
其实这个加法和飞哥给的那个原理是一样的,步骤相反,是先异或求出每一位相加后的值,然后把进位左移再和这些相加后的值做异或,如此重复到进位为0了为止.
代码
int mul(int a, int b){
int i = 1, c = 0;
do{
c = add(c, a & 0x1 ? b : 0);
a = ((unsigned int)a >> 1) | (c << (BIT -1));
c >>= 1;
}while(i <<= 1);
return c*(~(i-1))+a;
}
这个乘法是乘积是64位的(可能吧,我没做详细测试,而且返回是int值,要改成int64),飞哥给出的那个是32位的,最后一步用(~(i-1))来算最大整数不知道正确不正确.错了就改成7f吧,不过立即数位数就不能改了,比较不通用.其他应该没问题.
#define BIT 32
