证明正三角形的三个顶点(整数)不能画在格点上面

设等边三角形三个顶点坐标 （0,0） （a，b） （c，d）

 

三边相等得 L  =  a^2 + b^2  =  c^2 + d^2  =  (a-b)^2 + (c-d)^2

               =  a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ac - 2bd

化解可得  L=2ac+2bd

 

设 （a，b，c，d）的最大公约数为B

a'=a/B   b'=b/B   c'=c/B

（1）那么（a'，b'，c'，d')最大公约数为 1 （a'，b'，c'，d'中必有奇数）

（2）有L'  =  a'^2 + b'^2  =  c'^2 + d'^2  =  (a'-b')^2 + (c'-d')^2

            =  a'^2 + b'^2 + c'^2 + d'^2 - 2a'c' - 2b'd' = 2（ac+bd）

      则L'必为偶数

      因为a'和b' ，c'和d'同奇偶，所以a'，b'，或c'，d'为奇数；

      (一个奇数2x+1的平方，(2x+1)^2=4*x^2 + 4*x +1 被4除余1）

      所以 a'^2，b'^2或c'^2，d'^2 被4除余1；

      因为 L'  =  a'^2 + b'^2  =  c'^2 + d'^2

      所以 L'被4除余2；

      设 a' ，b'为奇数

      1. c'，d'也为奇数

      那么L'=(a'-b')^2 + (c'-d')^2 被4除余0，矛盾排除；

      2.c'，d'为偶数

      那么L'=c'^2 + d'^2被4除余0，矛盾排除；

  综上所述正三角形的三个顶点不能画在格点上面（所有坐标为整数）