【CTS 2019】珍珠

Problem

Description

有 \(n\) 个在范围 \([1,D]\) 内的整数均匀随机变量。

求至少能选出 \(m\) 个瓶子，使得存在一种方案，选择一些变量，并把选出来的每一个变量放到一个瓶子中，满足每个瓶子都恰好装两个值相同的变量的概率。

请输出概率乘上 \(D^n\) 后对 \(998244353\) 取模的值。取模部分说明可参考 。

Range

\(0\le m\le 10^9,1\le n\le 10^9,1\le D\le 10^5\) 。

Algorithm

\(FFT\) ，生成函数

Mentality

对于 \(2m>n\) 和 \(n-2m \ge D\) 的情况先特判掉。

不难发现，设 \(a_i\) 为颜色 \(i\) 出现的次数，我们要求的就是能满足 \(\sum a_i\ mod\ 2 \le n - 2m\) 的方案数。

设 \(f_i\) 为恰好有 \(i\) 种颜色出现次数为奇数的方案数，则有：

\[ans = \sum_{i=0}^{n-2m} f_i \]

写出 \(f_i\) 的表达式之后不太好求，我们需要令限制更少一点。

考虑钦定 \(i\) 个颜色的出现次数为奇数，设 \(h_i\) 为，对于钦定的某 \(i\) 种颜色，使得出现次数为奇数，且其他颜色出现次数随意的方案数。

设 \(g_i = \tbinom{D}{i} h_i\) ，也就是对于每种不同的钦定方案，我们将其求和。

那么根据定义，必然有等式：

\[g_i=\sum \tbinom{j}{i} f_j \]

因为每个 \(f_j\) 都会被 \(g_i\) 中的 \(\tbinom{j}{i}\) 种钦定方案算到。

利用指数形生成函数 \(\sum c^n\frac{x^i}{i!} = e^{cx}\) 可得：

\[h_i = n^i(e^x)^{D-i}\\ =\frac{n!}{2^i}[x^n]\sum_{j=0}^i \tbinom{i}{j} e^{jx}(-e^{-x})^{i-j}e^{D-i}\\ =\frac{n!}{2^i}\sum_{j=0}^i \tbinom{i}{j} (-1)^{i-j}[x^n]e^{D+2j-2i}\\ =\frac{n!}{2^i}\sum_{j=0}^i \tbinom{i}{i-j} (-1)^{j}[x^n]e^{D-2j}\\ \]

随后因为 \([x^n]e^{cx}=\frac{c^n}{n!}\) ，直接代入得：

\[h_i =\frac{n!}{2^i}\sum_{j=0}^i \tbinom{i}{i-j} (-1)^{j}\frac{(D-2j)^n}{n!}\\ =\frac{i!}{2^i}\sum_{j=0}^i \frac{1}{(i-j)!}\frac{(-1)^j(D-2j)^n}{j!} \]

这样就可以卷积了。

然后根据定义式直接算出 \(\{g_i\}\) 。

根据二项式反演可得：

\[f_i=\sum_{j=i}^{D} (-1)^{j-i} \tbinom{j}{i} g_j\\ = \sum_{j=0}^{D - i} (-1)^{j} \tbinom{j + i}{i} g_{j + i}\\ = \frac{1}{i!}\sum_{j=0}^{D - i} \frac{(-1)^{j}}{j!} (j+i)!g_{j + i}\\ \]

设 \(p_{D-j-i}=g_{j+i}(j+i)!\)，则有：

\[f_i= \frac{1}{i!}\sum_{j=0}^{D - i} \frac{(-1)^{j}}{j!} p_{D-j-i}\\ \]

这样就可以卷积了。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define LL long long
#define go(G, x, i, v) \
  for (int i = G.hd[x], v = G.to[i]; i; v = G.to[i = G.nx[i]])
#define inline __inline__ __attribute__((always_inline))
inline LL read() {
  LL x = 0, w = 1;
  char ch = getchar();
  while (!isdigit(ch)) {
    if (ch == '-') w = -1;
    ch = getchar();
  }
  while (isdigit(ch)) {
    x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
    ch = getchar();
  }
  return x * w;
}

const int Max_n = 8e5 + 5, mod = 998244353;

int D, n, m;
int fac[Max_n], ifac[Max_n];
int f[Max_n], g[Max_n], G[Max_n];

int ksm(int a, int b = mod - 2) {
  int res = 1;
  for (; b; b >>= 1, a = (LL)a * a % mod)
    if (b & 1) res = (LL)res * a % mod;
  return res;
}

namespace Poly {
int len, bit, rev[Max_n];
void init(int n) {
  len = 1 << (bit = log2(n) + 1);
  for (int i = 0; i < len; i++)
    rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << bit - 1);
}
void dft(int *f, bool t) {
  for (int i = 0; i < len; i++)
    if (rev[i] > i) swap(f[i], f[rev[i]]);
  for (int l = 1; l < len; l <<= 1) {
    int Wn = ksm(3, (mod - 1) / (l << 1));
    if (t) Wn = ksm(Wn);
    for (int i = 0; i < len; i += l << 1) {
      int Wnk = 1;
      for (int j = i; j < i + l; j++, Wnk = (LL)Wnk * Wn % mod) {
        int x = f[j], y = (LL)f[j + l] * Wnk % mod;
        f[j] = (x + y) % mod, f[j + l] = (x - y + mod) % mod;
      }
    }
  }
  if (t)
    for (int i = 0, Inv = ksm(len); i < len; i++) f[i] = (LL)f[i] * Inv % mod;
}
void Mul(int *f, int *g, int N) {
  init(N);
  dft(f, 0), dft(g, 0);
  for (int i = 0; i < len; i++) f[i] = (LL)f[i] * g[i] % mod;
  dft(f, 1), dft(g, 1);
}
}  // namespace Poly
using namespace Poly;

namespace Input {
void main() { D = read(), n = read(), m = read(); }
}  // namespace Input

namespace Init {
void main() {
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= D; i++) fac[i] = (LL)fac[i - 1] * i % mod;
  ifac[D] = ksm(fac[D]);
  for (int i = D; i; i--) ifac[i - 1] = (LL)ifac[i] * i % mod;
}
}  // namespace Init

namespace Solve {
int C(int n, int m) {
  if (n < m || m < 0) return 0;
  return (LL)fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
}
void main() {
  if (2 * m > n) {
    puts("0");
    return;
  }
  if (D <= n - 2 * m) {
    printf("%d\n", ksm(D, n));
    return;
  }
  for (int i = 0, t = 1; i <= D; i++, t *= -1) {
    G[i] = ifac[i];
    g[i] =
        (LL)(t + mod) * ksm((D - 2 * i + mod) % mod, n) % mod * ifac[i] % mod;
  }
  Mul(G, g, D + 1 << 1);
  for (int i = 0; i <= D; i++) G[i] = (LL)ksm(ksm(2, i)) * G[i] % mod * fac[i] % mod * C(D, i) % mod;
  for (int i = 0, t = 1; i <= D; i++, t *= -1) {
    g[i] = (LL)G[D - i] * fac[D - i] % mod;
    f[i] = (LL)(t + mod) * ifac[i] % mod;
  }
  Mul(f, g, D + 1 << 1);
  int ans = 0;
  for (int i = 0; i <= n - 2 * m; i++)
    (ans += (LL)f[D - i] * ifac[i] % mod) %= mod;
  cout << ans << endl;
}
}  // namespace Solve

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("3120.in", "r", stdin);
  freopen("3120.out", "w", stdout);
#endif
  Input::main();
  Init::main();
  Solve::main();
}