DAG最小路径点覆盖
Problem
给出一个有向无环图 (\(DAG\)),求出最少使用其中多少条互不相交的路径覆盖所有点。
Solution
若有 \(n\) 个点,对于每个点 \(i\) ,我们将它拆成两个点 \(i\) 与 \(i'\),分别放在一个二分图的两侧,然后,对于有向图中的每条边 \((a,b)\) 我们在二分图中将 \((a,b')\) 这两个点连在一起。
当所有边在二分图中已经相应连好之后,我们跑二分图最大匹配,可以使用匈牙利,不过个人更倾向建立一个超级源点连向左侧每个点,建立一个超级汇点被右侧每个点所连,然后跑网络最大流。
假设最大流为 \(maxflow\) ,则最小路径覆盖数为 \(n-maxflow\) 。
Confirmation
由于要求选出的每条路径都要不相交,那么对于每条路径中的点,它的入度与出度均不会大于 \(1\) 。尤其对于每个起点,入度必定为 \(0\) ,每个终点出度必定为 \(0\) 。
那么由于 \(DAG\) 中的每条边都已经放到了二分图里,对于 \(DAG\) 最小路径选边的情况必定已经能够在二分图里选出来了。
接着我们考虑一下所要求的问题,显然一条路径只会有一个终点,且一个终点必定属于某条路径。而终点的出度又必定为 \(0\) 。那么这样对应的选边情况放到二分图里呢?我们就会发现:
- 对于一个点 \(i\) ,它指向 \(j\) 的出边必定在二分图上为 \((i,j')\)
- 对于一个点 \(i\) ,如果它的出度为 \(0\) ,那么二分图上的 \(i\) 必定不与任意一个 \(j'\) 所匹配。
- 选出的路径最少 \(\Leftrightarrow\) 终点最少 \(\Leftrightarrow\) 二分图左侧的未匹配点最少 \(\Leftrightarrow\) 二分图匹配数最大
那么根据以上证明,可以得出:最少路径= 最少终点 = 总点数-最大匹配数 = \(n-maxflow\) 。
证毕。