可持久化线段树(主席树)
可持久化线段树(主席树)
定义
- 可持久化线段树,又称函数式线段树,是最重要的可持久化数据结构之一。
- 为了降低空间复杂度,我们可以不建出整棵线段树的结构,而是在最初只建立一个根节点,代表整个区间,当需要访问线段树的某棵子树(某个子区间)时,再建立代表这个子区间的节点。采用这种方法维护的线段树称为动态开点的线段树。
- 动态开点的线段树抛弃了完全二叉树父子节点的2倍编号规则,改为使用变量记录左右子节点的编号。同时,它也不再保存每个节点代表的区间,而是在每次递归访问的过程中作为参数传递。
- 可持久化线段树是一种静态数据结构,如果需要动态修改,需要用树状数组套可持久化线段树。
建树
动态开点建树即可。
void Build(int &o,int l,int r) {
o=++ind;
sum[o]=0;
if(l==r) {
return;
}
Build(ls[o],l,mid);
Build(rs[o],mid+1,r);
return;
}
插入
左右子节点继承上一版本即可,注意$sum$应当较上一版本$+1$。
void Update(int &o,int l,int r,int pre,int x) {
o=++ind;
ls[o]=ls[pre],rs[o]=rs[pre],sum[o]=sum[pre]+1;
if(l==r) {
return;
}
if(x<=mid) {
Update(ls[o],l,mid,ls[pre],x);
}
else {
Update(rs[o],mid+1,r,rs[pre],x);
}
}
查询静态区间第k小的数
注意是用右边界的左子节点减去左边界的左子节点。
int Kth(int l,int r,int x,int y,int k) {
if(l==r) {
return l;
}
int tmp=sum[ls[y]]-sum[ls[x]];
if(k<=tmp) {
return Kth(l,mid,ls[x],ls[y],k);
}
else {
return Kth(mid+1,r,rs[x],rs[y],k-tmp);
}
}
板子
板子我是用$namespace$写的,放在这方便以后用。
注意线段树的数组开40倍。
#define N 200010
#define mid ((l+r)>>1)
int n,m,siz,ind;
int rt[(N<<5)+(N<<3)],ls[(N<<5)+(N<<3)],rs[(N<<5)+(N<<3)],sum[(N<<5)+(N<<3)],a[N],b[N];
namespace Persistence_Segment_Tree {
void Read() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
b[i]=a[i];
}
return;
}
void Build(int &o,int l,int r) {
o=++ind;
sum[o]=0;
if(l==r) {
return;
}
Build(ls[o],l,mid);
Build(rs[o],mid+1,r);
return;
}
void Update(int &o,int l,int r,int pre,int x) {
o=++ind;
ls[o]=ls[pre],rs[o]=rs[pre],sum[o]=sum[pre]+1;
if(l==r) {
return;
}
if(x<=mid) {
Update(ls[o],l,mid,ls[pre],x);
}
else {
Update(rs[o],mid+1,r,rs[pre],x);
}
}
void Init() {
std::sort(b+1,b+n+1);
siz=std::unique(b+1,b+n+1)-b-1;
Build(rt[0],1,siz);
for(int i=1;i<=n;i++) {
int val=std::lower_bound(b+1,b+siz+1,a[i])-b;
Update(rt[i],1,siz,rt[i-1],val);
}
}
int Kth(int l,int r,int x,int y,int k) {
if(l==r) {
return l;
}
int tmp=sum[ls[y]]-sum[ls[x]];
if(k<=tmp) {
return Kth(l,mid,ls[x],ls[y],k);
}
else {
return Kth(mid+1,r,rs[x],rs[y],k-tmp);
}
}
void Solve() {
for(int i=1;i<=m;i++) {
int l,r,k,ans;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
ans=b[Kth(1,siz,rt[l-1],rt[r],k)];
printf("%d\n",ans);
}
return;
}
}