浅谈SG函数

公平组合游戏和策梅洛定理

公平组合游戏是指满足以下条件的一个博弈游戏：

1. 游戏对参加的两人公平，没有随机因素，信息公开透明
2. 两名玩家轮流行动，一名玩家不能行动时游戏结束。
3. 游戏状态有限，且游戏一定能在有限步内结束，没有平局
4. 游戏局势不能区分玩家

对于一个公平组合游戏，我们会关心给定初始状态，它是否存在先手必胜的策略。

为了解决这个问题，就有了策梅洛定理。策梅洛定理指出，公平组合游戏中的任何一个状态，要么先手有必胜策略，要么后手有必胜策略。

证明这件事，我们可以将一个状态看作一个点，每个状态向它的后继状态连边，形成一个有向图。因为公平组合游戏的定义中有一定在有限步内结束，所以这个有向图中不能有环，所以这又是个拓扑图。我们将操作者必败的点称为必败态，操作者必胜的点称为必胜态。
对于拓扑图的没有出度的点，必为必败态。如果一个点的后继都是必胜态，则当前点为必败态。如果一个点的后继存在必败态，则当前点为必胜态。可以发现除去这两种条件，没有其它条件了，所以每个点的状态都是确定的。于是我们得到了上述结论。

得到这个结论，我们对于所有的公平博弈游戏就有了一种通解了：对抗搜索，也就是使用记忆化搜索来完成博弈的过程。

SG函数

虽然我们有了通解，可以使用记忆化搜索完成，但我们寻求更优的做法。

先举一个例子：有一堆 $n$ 个石头，每次能拿走 $1\sim 3$ 个石头，取走最后一个石头的人获胜。

这是一个很经典也很简单的公平组合问题。但是如果不止一堆呢？搜索的总状态数会大大增加。但我们发现每一堆是等价的，所以我们可以算出每一堆的获胜情况，进而推出最后的获胜情况。如果用 $0$ 表示必败态，$1$ 表示必胜态，那么最后的结果为所有堆结果的异或和。
等等，我们需要考虑一件事，必胜态真的必胜吗？这可能未必，就比如 $5$ 既可以转移到 $4$ 这个必败态，也可以转移到 $2$ 这个必胜态，也就是 $5$ 这个状态的最终胜负情况是可以通过先手的操作改变的，自然也不能和原来的必胜态一概而论。

这时候我们引出一个阶数的概念，令必败态为 $0$ 阶，能转移到必败态的必胜态为 $1$ 阶状态，能转移到必败态和 $1$ 阶状态的必胜态为 $2$ 阶状态。于是我们得到一个 $n$ 阶状态的定义：能转移到 $0\sim n-1$ 阶状态中任意一阶的状态。
我们用 $SG(S)$ 表示状态 $S$ 的阶。根据阶数的定义，我们可以知道，当且仅当 $SG(S)=0$ 时，状态 $S$ 为必败态。且 $SG(S)=\mathop{\mathrm{mex}}\{SG(S')\mid S\rightarrow S'\}$，其中 $S\rightarrow S'$ 表示能从状态 $S$ 转移到 状态 $S'$。这个 $mex$ 很好理解，因为 $SG(S)$ 以下的阶数都能达到，所以状态 $S$ 的阶数为 $SG(S)$。

SG 定理

先给出结论，$SG(A+B)=SG(A)\oplus SG(B)$

令 $A'$ 为 $A$ 的后继状态，$B'$ 为 $B$ 的后继状态。$SG(A)=a,SG(B)=b,SG(A')=a',SG(B')=b'$，根据计算式可以得到 $a'\in [0,a-1]\cup [a+1,+\infty],b'\in [0,b-1]\cup [b+1,+\infty]$。首先可以得到 $a' \in [a+1,+\infty]$ 和 $b'\in [b+1,+\infty]$ 是无意义的，因为对方可以转移回 $a$ 阶状态和 $b$ 阶状态。剩下的考虑分类讨论。

1. a=b=0

此时显然，因为每局游戏先手都必败，所以他将一直是先手，所以他最终必败。

2. 其它

考虑使用数学归纳法证明。我们假定局面 $A+B'$ 和 $B+A'$ 均满足要求，所以存在 $SG(A+B')\in[0,a\oplus b'),SG(A'+B)\in[0,a'\oplus b)$。令 $c=a\oplus b$，$t$ 在二进制下有 $sum$ 个 $1$，$p_i$ 表示 $c$ 的第 $i$ 个为 $1$ 的位置。则 $c=\sum\limits_{i=1}^{sum}2^{p_i}$。我们找到 $p_1$ 该位如果要为 $1$，一定为一个该位为 $1$ 的数和一个该位为 $0$ 的数异或得到，$a\oplus b'$ 和 $b\oplus a'$ 的并集一定包含长为 $2^{p_1}$ 的区间 $[0,2^{p_1})$，令第 $p_1$ 位均为 $1$，可以同理得到一定包含 $[2^{p_1},2^{p_1}+2^{p_2})$，一步步往下走可以得到所有取值集合的并集为 $[0,c)$，根据计算式，得到 $SG(A+B)=c=SG(A)\oplus SG(B)$，也就证明了 SG 定理的正确性。

参考资料

• 曦行夜落 浅谈SG函数和博弈论
• yuanyulin78 #博弈论 #公平组合游戏(ICG) #尼姆游戏(NIM) 20.09.06
• ALnAYuLvM【笔记】浅谈SG定理证明