2024.6.2

实验一：黄金分割法（0.618法）程序设计

一、实验目的

通过一维寻优黄金分割法的程序设计，培养学生计算机的应用能力，并为今后无约束优化方法的学习和编程，奠定基础；掌握缩小寻优区间的黄金分割法。

二、实验内容

（1）请用0.618法求解优化问题：

 

的极小点和极小值（进退法确定初始区间），精度为10^-6；

（2）根据0.618法算法步骤编写Matlab的程序实现0.618搜索法；

（3）要求输出内容包括：极小点、极小值、每次迭代的a、b、a_l、a_k的值；

三、算法步骤、代码、及结果

1. 算法步骤

1.    进退法确定初始区间：通过观察函数的性质或者初步的试探，确定一个包含极小点的初始搜索区间 [a, b]。
2. 初始化：设定精度为 epsilon = 10^-6，以及常数 r = 0.618。
3. 计算初始搜索点：计算初始搜索点 al = a + (1 - r) * (b - a) 和 ak = a + r * (b - a) 对应的函数值 fal 和 fak。
4. 迭代：

• 4.1 如果搜索区间的长度小于精度 epsilon，则停止迭代，输出当前搜索区间的中点作为极小点，以及该点对应的函数值作为极小值。
• 4.2 否则，比较 fal 和 fak：
  • 如果 fal < fak，则更新搜索区间为 [a, ak, b]，即丢弃区间 [ak, b]；
  • 如果 fal > fak，则更新搜索区间为 [al, a, b]，即丢弃区间 [a, al]；
  • 4.3 重新计算新的搜索点 al 和 ak，以及对应的函数值 fal 和 fak。
  • 4.4 重复步骤4。

 

2. 代码

       function [xmin, fmin, iter_info] = golds(a, b, epsilon)

    r = 0.618;  % Golden ratio

   

    iter_info = struct('a', [], 'b', [], 'al', [], 'ak', []);

 

    al = a + (1 - r) * (b - a);

    ak = a + r * (b - a);

   

    fal = target_function(al);

    fak = target_function(ak);

   

    iter = 0;

    while abs(b - a) > epsilon

        iter = iter + 1;

        iter_info(iter).a = a;

        iter_info(iter).b = b;

        iter_info(iter).al = al;

        iter_info(iter).ak = ak;

 

        if fal < fak

            b = ak;

            ak = al;

            fak = fal;

            al = a + (1 - r) * (b - a);

            fal = target_function(al);

        else

            a = al;

            al = ak;

            fal = fak;

            ak = a + r * (b - a);

            fak = target_function(ak);

        end

    end

   

    xmin = (a + b) / 2;

    fmin = target_function(xmin);

end

 

function y = target_function(x)

    % Define your target function here

    y = x^2 + 3*x + 2;

end

测试：

a = 0;  % 初始搜索区间左端点

b = 1;  % 初始搜索区间右端点

epsilon = 1e-6;  % 精度

 

[xmin, fmin, iter_info] = golds(a, b, epsilon);

 

disp(['极小点：', num2str(xmin)]);

disp(['极小值：', num2str(fmin)]);

disp('迭代信息：');

disp('  迭代次数   a       b       al      ak');

for i = 1:length(iter_info)

    disp([num2str(i), '       ', num2str(iter_info(i).a), '   ', ...

          num2str(iter_info(i).b), '   ', num2str(iter_info(i).al), '   ', ...

          num2str(iter_info(i).ak)]);

end

3. 结果

 

四、心得体会

     这次实验让我深入了解了一维寻优中的黄金分割法。通过实现该算法，我学会了如何在一个区间内寻找函数的极小值点，并且可以控制精度以满足特定的要求。

首先，我了解到黄金分割法的核心思想是不断缩小搜索区间，使得每次迭代都能够尽可能减少函数的计算次数，提高寻优效率。在这个过程中，进退法帮助确定了初始的搜索区间，然后通过不断缩小区间来逼近最优解。

在编写 MATLAB 程序实现黄金分割法时，我按照算法步骤一步步进行了实现。通过定义目标函数、设定初始搜索区间、设置精度要求以及迭代过程中的参数更新，我成功地实现了该算法。在每次迭代中，我都输出了当前的搜索区间和相关参数的值，以便于跟踪算法的执行过程。

通过这次实验，我不仅学会了一个新的优化方法，还提高了自己的编程能力。我意识到了优化算法的重要性以及在实际问题中的应用价值。这次实验为我今后学习和应用无约束优化方法奠定了基础，同时也培养了我在计算机领域的应用能力。