椭圆三个定义(待更新)

  • 椭圆的第一定义

平面内与两定点F1F2的距离的和等于常数2a (2a>F1F2)

|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹叫做椭圆。

椭圆标准方程

x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)

  • 椭圆的第二定义

平面内到定点 F(c0)的距离和到定直线 l:x=a2c( 点F不在l上)的距离之比为常数ca(即离心率e0<e<1)的点的轨迹是椭圆。(即点P轨迹)
其中定点F为椭圆的焦点,定直线l称为椭圆的准线〈该定直线的方程是x=±a2c(焦点在x轴上),或y=±a2c(焦点在y轴上)〉。

如图:

推导过程:

已知:

P(x,y)

|PF|=(xc)2+y2

|PQ|=a2cx,

|PF||PQ|=(xc)2+y2a2cx=e=ca,

注:ca=e 是一个常数,即离心率

两边同时平方,整理得:

(1c2a2)x2+y2=a2c2A

目前已知:a2=b2+c2,

1c2a2可看成a2c2a2b2a2,

所以A式可以化简为b2a2x2+y2=b2,

x2a2+y2b2=1,

得证.

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