[数学理论] 范数

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以下分别列举常用的向量范数和矩阵范数的定义。
  • 向量范数

1-范数：

||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|

即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。

2-范数：

||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}

Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。

\infty-范数：

||\textbf{x}||_\infty = \max_{i}|x_i|

即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。

-\infty-范数：

||\textbf{x}||_{-\infty}=\min_i|x_i|

即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。

p-范数：

 

||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}
即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。

 
  • 矩阵范数

1-范数：

 

||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}|
 列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。

 

2-范数：

||A||_2 = \sqrt{\lambda_1}，\lambda<br/>为A^TA的最大特征值。

谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。

\infty-范数：

||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}|

行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。

F-范数：

||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}}

Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。

核范数：

||A||_* = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i, \lambda_i是A的奇异值。即奇异值之和。


posted @ 2017-10-21 18:41  落痕的寒假  阅读(26)  评论(0)  编辑  收藏  举报