最短路径算法

最短路问题

最短路问题

在带权图中，每条边都有一个权值，就是边的长度。路径的长度等于经过所有边权之和，求最小值。

image

如上图，从 \(1\) 到 \(4\) 的最短路径为 1->2->3->4，长度为 5。

对于无权图或者边权相同的图，我们显然可以使用 bfs 求解。

但是对于带权图，就不能通过 bfs 求得了。

Floyd 多源最短路算法

概述

所谓多源则是它可以求出以每个点为起点到其它每个点的最短路。

有一种特殊情况是求不出最短路的，就是存在负环。每次经过这段路之后最短路长度就会减少，算法便会得到错误的答案，一些算法甚至会有死循环。但是 Floyd 无法判断是否出现这种情况，所以就只能在没有负环的情况下使用。

Floyd 算法是一种利用动态规划的思想、计算给定的带权图中任意两个顶点之间最短路径的算法。无权图可以直接把边权看作 \(1\) 。

Floyd 写法最为简单。但是一定要切记中间点 \(k\) 的枚举一定要放在最外层。

int g[maxn][maxn];
for (int k = 1;k <= n;k++) {
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            g[i][j] = min(g[i][k] + g[k][j], g[i][j]);
        }
    }
}

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n^3)\)。

代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 101;

int g[N][N];

void Floyd(int n) {
    for (int k = 1;k <= n;k++) { 
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= n;j++) {
                g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);
            }
        }
    }
}

int main() {
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        g[i][i] = 0;
    }
    int n, m;
    int u, v, w;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> u >> v >> w;
        g[u][v] = g[v][u] = w;
    }
    Floyd(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cout << g[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

例题：城市

题目描述

一个国家中有 \(n\) 个城市，\(m\) 条道路，每条道路都是单向的。国王想知道以每座城市为起点可以到达那些城市？

输入格式

第一行输入 \(n(1\le n\le 100),m(1\le m\le 1000)\)，表示城市和道路数量。

接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(u,v(1\le u,v\le n)\) 表示有一条从 \(u\) 城市到 \(v\) 城市的一条道路。

输出格式

输出 \(n\) 行，每行 \(n\) 个数，用空格隔开。

第 \(i\) 行第 \(j\) 个数表示城市 \(i\) 是否可以到达城市 \(j\)。如果可以输出 1，否则输出 0。

样例输入

3 2
1 2
1 3

样例输出

1 1 1
0 1 0
0 0 1

解析

可以直接套用 floyd 求解。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int g[105][105];
int main() {
    int n, m, u, v;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        g[i][i] = 1;
    }
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> u >> v;
        g[u][v] = 1;
    }
    
    for (int k = 1;k <= n;k++) {
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= n;j++) {
                if (!g[i][j]) {
                    if (g[i][k] && g[k][j]) {
                        g[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cout << g[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

朴素迪杰斯特拉最短路算法

单源最短路问题是指：从源点 \(s\) 到图中其余各顶点的最短路径。

算法流程

我们定义带权图 \(G\) 所有顶点集合为 \(V\)，接着我们再定义已确定从源点出发的最短路径的顶点集合为 \(U\)。初始集合 \(U\) 为空，记从源点 \(s\) 出发到每个顶点 \(v\) 的距离为 \(d_v\)，初始 \(d_s=0\)，接着执行如下操作：

  1. 从 \(V-U\) 中找出一个距离源点最近的顶点 \(v\)，将 \(v\) 加入集合 \(U\)。
  2. 并用 \(d_v\) 和顶点 \(v\) 连出来的边来更新和 \(v\) 相邻的、不在集合 \(U\) 中的顶点 \(d\)，这一步成为松弛操作。
  3. 重复 1 和 2，直到 \(V=U\) 或找不到一个从 \(s\) 出发有路径到达的顶点，算法结束。

迪杰斯特拉算法的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(V^2)\)，其中 \(V\) 表示顶点的个数。

图片演示

我们用一个例子来说明这个算法。

image

初始每个顶点的 \(d\) 设置为无穷大 \(\inf\)，源点 \(M\) 的 \(d_M\) 设置为 \(0\)。当前 \(U=\emptyset\)，\(V-U\) 中的 \(d\) 最小的顶点为 \(M\)。从顶点 \(M\) 出发，更新相邻点的 \(d\)。

image

更新完毕，此时 \(U=\{M\}\)，\(V-U\) 中 \(d\) 最小的顶点是 \(W\)。从 \(W\) 出发，更新相邻点的 \(d\)。

image

更新完毕，此时 \(U=\{M,W\}\)，\(V-U\) 中 \(d\) 最小的顶点是 \(E\)。从 \(E\) 出发，更新相邻顶点的 \(d\)。

image

更新完毕，此时 \(U=\{M,W,E\}\)，\(V-U\) 中 \(d\) 最小的顶点是 \(X\)。从 \(X\) 出发，更新相邻顶点的 \(d\)。

image

更新完毕，此时 \(U=\{M,W,E,X\}\)，\(V-U\) 中 \(d\) 最小的顶点是 \(D\)。从 \(D\) 出发，没有其他不在集合 \(U\) 中的顶点。

image

此时 \(U=V\)，算法结束。

示例代码

for (int i = 1;i <= n;i++) {
    int mind = inf;
    int v = 0;
    for (int j = 1;j <= n;j++) {
        if (d[j] < mind && !vis[j]) {
            mind = d[j];
            v = j;
        }
    }
    if (mind == inf) {
        break;
    }
    vis[v] = true;
    for (int j = 0;j < g[v].size();j++) {
       	d[g[v][j].v] = min(d[g[v][j].v], d[v] + g[v][j].w);
    }
}

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1001;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct node {
    int v, w;
    node() {
      
    }
    node(int vv, int ww) {
        v = vv;
        w = ww;
    }
};
vector<node> g[N];
int n, m, s;
int d[N];
bool vis[N];
int main() {
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back(node(v, w));
        g[v].push_back(node(u, w));
    }
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int mind = inf;
        int v = 0;
        for (int j = 1;j <= n;j++) {
            if (!vis[j] && d[j] < mind) {
                mind = d[j];
                v = j;
            }
        }
        if (mind == inf) {
            break;
        }
        vis[v] = true;
        for (int j = 0;j < g[v].size();j++) {
            d[g[v][j].v] = min(d[g[v][j].v], d[v] + g[v][j].w);
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << d[i] << " ";
    }
    return 0;
}

堆优化迪杰斯特拉算法

在朴素算法中，每次使用 \(\mathcal{O}(n)\) 查询距离当前点最近的点过于消耗时间，我们可以使用堆优化来直接获得最近的点。

堆优化

如果暴力枚举的话，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(V^2)\)。

如果考虑使用一个 set 来维护点的集合，这样时间复杂度就优化到了\(\mathcal{O}((V+E)\log V)\)。

示例代码

set<pair<int, int> > min_heap;
min_heap.insert(make_pair(0, s));
while (min_heap.size()) {
    int mind = min_heap.begin()->first;
    int v = min_heap.begin()->second;
    min_heap.erase(min_heap.begin());
    for (int i = 0;i < g[v].size();i++) {
        if (d[g[v][i].v] > d[v] + g[v][i].w) {
            min_heap.erase(make_pair(d[g[v][i].v], g[v][i].v));
            d[g[v][i].v] = d[v] + g[v][i].w;
            min_heap.insert(make_pair(d[g[v][i].v], g[v][i].v));
        }
    }
}

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
const int N = 100001;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct node {
    int v, w;
    node() {
      
    }
    node(int vv, int ww) {
        v = vv;
        w = ww;
    }
};
vector<node> g[N];
int n, m, s;
int d[N];
set<pair<int, int> > min_heap;
int main() {
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back(node(v, w));
        g[v].push_back(node(u, w));
    }
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    
    min_heap.insert(make_pair(0, s));
    while (min_heap.size()) {
        int mind = min_heap.begin() -> first;
        int v = min_heap.begin() -> second;
        min_heap.erase(min_heap.begin());
        for (int i = 0;i < g[v].size();i++) {
            if (d[g[v][i].v] > d[v] + g[v][i].w) {
                min_heap.erase(make_pair(d[g[v][i].v], g[v][i].v));
                d[g[v][i].v] = d[v] + g[v][i].w;
                min_heap.insert(make_pair(d[g[v][i].v], g[v][i].v));
            }
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << d[i] << " ";
    }
    return 0;
}

例题：旅行

题目描述

一个国家中有 \(n\) 个城市，\(m\) 个道路。小明位于第 \(s\) 个城市，他想知道其他城市距离自己所在城市的最短距离是多少。

输入格式

第一行输入一个整数 \(n(1\le n\le 1\times 10^5),m(0\le m\le 1\times 10^6),s(1\le s\le n)\)，分别表示城市个数、道路数量以及起点城市。

接下来 \(m\) 行，每行三个不同的正整数 \(u,v,w(1\le u,v\le n,1\le w\le 1000)\)，表示 \(u\) 城市到 \(v\) 城市之间有一条长度为 \(w\) 的道路。

输出格式

输出一行，包含 \(n\) 个数字，表示以 \(s\) 为起点到第 \(i\) 个城市的最短距离。如果不可到达输出 \(-1\)。

解析

可以直接使用堆优化迪杰斯特拉来解决。

参考代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
const int N = 100001;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct node {
    int v, w;
    node() {
    }
    node(int vv, int ww) {
        v = vv;
        w = ww;
    }
};
vector<node> g[N];
int n, m, s;
int d[N];
set<pair<int, int> > min_heap;
bool in_queue[N];
int main() {
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back(node(v, w));
    }
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    min_heap.insert(make_pair(0, s));
    while (!min_heap.empty()) {
        int mind = min_heap.begin() -> first;
        int v = min_heap.begin() -> second;
        min_heap.erase(min_heap.begin());
        for (int i = 0;i < g[v].size();i++) {
            if (d[g[v][i].v] > d[v] + g[v][i].w) {
                min_heap.erase(make_pair(d[g[v][i].v], g[v][i].v));
                d[g[v][i].v] = d[v] + g[v][i].w;
                min_heap.insert(make_pair(d[g[v][i].v], g[v][i].v));
            }
        }
    }
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        if (d[i] < inf) cout << d[i] << ' ';
        else cout << -1 << ' ';
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

SPFA 算法

算法内容

在该算法中，需要使用一个队列来保存即将拓展的顶点列表，并使用 \(\text{in\_queue}_i\) 来表示顶点 \(i\) 是否在队列中。

  1. 初始队列仅有源点，且 \(d_s=0\)。
  2. 取出队顶元素 \(u\)，扫描从 \(u\) 出发的每一条边，设每条边的另一端为 \(v\)，边 \(u,v\) 的权值为 \(w\)，若 \(d_u+w<d_v\)，则
    • 将 \(d_v\) 修改为 \(d_u+w\)。
    • 若 \(v\) 不在队列中，则将 \(v\) 入队。
  3. 重复 2 直到队列为空。

算法效率

空间复杂度很显然为 \(\mathcal{O}(V)\)。如果平均入队次数为 \(k\)，则 SPFA 的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(kE)\)。

对于一般随机稀疏图，\(k\) 不超过 \(4\)。

示例代码

bool in_queue[maxn];
int d[maxn];
queue<int> q;
void spfa(int s) {
    memset(in_queue, 0, sizeof(in_queue));
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    in_queue[s] = true;
    q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        in_queue[v] = false;
        for (int i = 0;i < g[v].size();i++) {
            if (d[g[v][i].v] > d[v] + g[v][i].w) {
                d[g[v][i].v] = d[v] + g[v][i].w;
                if (!in_queue[g[v][i].v]) {
                    q.push(g[v][i].v);
                    in_queue[g[v][i].v] = true;
                }
            }
        }
    }
}

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100001;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct node {
    int v, w;
    node() {
      
    }
    node(int vv, int ww) {
        v = vv;
        w = ww;
    }
};
vector<node> g[N];
int n, m, s;
int d[N];
bool in_queue[N];
queue<int> q;
int main() {
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back(node(v, w));
        g[v].push_back(node(u, w));
    }
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    
    in_queue[s] = true;
    q.push(s);
    
    while (!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        in_queue[v] = false;
        for (int i = 0;i < g[v].size();i++) {
            int x = g[v][i].v;
            if (d[x] > d[v] + g[v][i].w) {
                d[x] = d[v] + g[v][i].w;
                if (!in_queue[x]) {
                    q.push(x);
                    in_queue[x] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << d[i] << " ";
    }
    return 0;
}

SPFA 判负环

我们可以在入队时，记录每个顶点入队次数 \(\text{cnt}_i\)。如果一个顶点入队次数大于 \(n\)，那么就出现了负环。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100001;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct node {
    int v, w;
    node() {
      
    }
    node(int vv, int ww) {
        v = vv;
        w = ww;
    }
};
vector<node> g[N];
int n, m, s;
int d[N], cnt[N];
bool in_queue[N];
queue<int> q;
bool spfa(int s) {
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    in_queue[s] = true;
    q.push(s);
    
    cnt[s] ++;
    
    while (!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        in_queue[v] = false;
        for (int i = 0; i < g[v].size(); i++) {
            int x = g[v][i].v;
            if (d[x] > d[v] + g[v][i].w) {
                d[x] = d[v] + g[v][i].w;
                if (!in_queue[x]) {
                    q.push(x);
                    in_queue[x] = true;
                    cnt[x] ++;
                    if (cnt[x] > n) {
                        return true;
                    }
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main() {
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back(node(v, w));
    }
    if (spfa(s)) {
        cout << "YES" << endl;
    } else {
        cout << "NO" << endl;
    }
    return 0;
}
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