为什么 0.1+0.2=0.30000000000000004

图1

图2

0.1 和 0.2 是如何表示的？
根据前面的讲解，十进制 0.1 转为二进制小数，得到的是 0.0001100… （重复1100）这样一个循环二进制小数，使用 IEEE754 表示如下图：

图3

对这个 0.1 的二进制数据进行二进制编码，

再对这个编码进行切割，怎么切割呢，从左向右找，找到 第一个 1 就一刀砍下去，将这么长长的数切割成两端

0001100110011001100110011001100110011001100110011001101

指数	尾数
0001	100110011001100110011001100110011001100110011001101

可以发现前面有四位，是 0001 ，那么这个浮点数的指数就是 -4 ，为什么是负数呢，应为这是小数，是向右数数，

上面第二张图可以看出，浮点数的指数位有8个比特 ，一共可以表达$2^8=256$数，float 类型既要表达绝对值很大大数或者很小的数， 0 和 255 对应两种特殊情况，编码1-254则依次对应 指数范围 -126-127

十进制指数	浮点数八位指数十进制编码	浮点数八位指数二进制编码
-126	1	0000 0001
-125	2	0000 0010
…	…	…
-4	123	0111 1011
1	128	1000 0000
127	254	1111 1110

也就是说，图2 里面的二进制编码 为 127+（-4）=123 =0111 1011

指数	23位尾数	舍入项	截断项
0001	10011001100110011001100	1100	110011001100110011001101
第一个 1 分割	尾数最后一项是0，但是舍入项是0.75,需要进1	$1\ast (0.5{)}^{-1}+1\ast (0.5{)}^{-2}+0\ast (0.5{)}^{-3}+0\ast (0.5{)}^{-4}=0.75$
	10011001100110011001101

在浮点数的舍入问题上，IEEE 浮点格式定义了 4 种不同的舍入方式，如下表所示。其中，默认的舍入方法是向偶数舍入，而其他三种可用于计算上界和下界。

其次我们来考虑尾数 ，位数占用23 个比特，如果你直接在尾数 截取23 个比特，那么 用浮点数将永远小于我们需要表达的数，你把一条龙的一个小尾巴截了，龙的体重一定是变轻了。所以一定要加入舍入规则，这里不是简单的四舍五入 而是 四舍六入五成双，舍入细节请看 四舍六入五成双

同样的方法，0.2 用单精度浮点数表示是：0.20000000298023223876953125。所以，0.1 + 0.2 的结果是：0.300000004470348358154296875

用 python 代码 来实现

#将十进制小数转化为二进制
def dec2bin(x):
  x -= int(x)
  bins = []
  while x:
    x *= 2
    bins.append(1 if x>=1. else 0)
    x -= int(x)
  return bins
#print()

#cc=dec2bin(0.1)

0.1 的二进制表示

cc1=dec2bin(0.1)
#cc1=0001100110011001100110011001100110011001100110011001101

0.2 的二进制表示

cc2=dec2bin(0.2)
#cc1=001100110011001100110011001100110011001100110011001101

全部代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Jun  9 17:20:29 2022

@author: luogantt
"""

import numpy as np

#将十进制小数转化为二进制
def dec2bin(x):
  x -= int(x)
  bins = []
  while x:
    x *= 2
    bins.append(1 if x>=1. else 0)
    x -= int(x)
  return bins
print(dec2bin(.8125))


def expo(cc):
   
    n=0
    while (not cc[n]):
        n=n+1
        print(n)
    return n+1



"""
  >0.5           --1
  <0.5           --0
  ==0.5 if up==0 --0
  ==0.5 if up==1 --1 
"""

#决定舍入项是否要进一位
def roundings(cc,exp):
    drop= np.array(cc[exp+23:exp+23+4])
    weight=np.array([1/2,1/4,1/8,1/16])
    
    ifdrop=np.sum(weight*drop)
    
    if ifdrop>0.5:
        return 1
    elif  ifdrop<0.5:
        return 0
    else:
        if cc[exp+23]==0:
            return 0
        else:
            return 1 
        
        

# 将小数位转换成 float32 
def float32(exp,cc):
    
    fric=cc[exp:exp+23]
    
    strfric=''.join([str(k) for k in fric])
    intfric= int(strfric,2)
    
    round1= roundings(cc,exp)
    
    if round1:
        intfric=intfric+1
    
    intfric1=bin(intfric)
    intfric2=intfric1[2:]
    
    intfric3=[int(k) for k in intfric2]
    
    sum=0
    for k in range(len(intfric3)):
        sum=sum+intfric3[k]*2**(-1*(k+exp+1))
    sum=sum+(2)**(-(exp))
        
    print(sum)
    
    return sum



cc1=dec2bin(0.1)
exp1=expo(cc1)
sum1= float32(exp1,cc1)
print( '小数位',sum1)

cc2=dec2bin(0.2)
exp2=expo(cc2)
sum2= float32(exp2,cc2)
print(sum2)
#
print('0.1+0.2=',sum1+sum2)

[1, 1, 0, 1]
1
2
3
0.10000000149011612
小数位 0.10000000149011612
1
2
0.20000000298023224
0.20000000298023224
0.1+0.2= 0.30000000447034836