频域滤波
1 频域滤波基础
对一幅数字图像，基本的频率滤波操作包括：
1）将图像变换到频率域；
2）根据需要修改频率域数值；
3）反变换到图像域。
使用公式表达为 
，
H(u,v) 为滤波器（滤波传递函数），F(u,v) 为图像函数的傅里叶变换。
在将图像变换到频率域之前，对其中心化处理可使变换后结果更利于观察与分析，因此，乘以 
以实现中心化。
在反变换到图像域后，得到的图像是 
，将其乘以 
使图像平移还原，因此，乘以 还原平移。
在对数字图像进行频移滤波时，需要关注卷积缠绕和振铃现象，这是在设计滤波函数时需要尽力避免的。
1）卷积缠绕
给定非周期信号，对其进行离散傅里叶变换或者反变换后得到周期信号，而周期信号卷积操作可能产生缠绕。
卷积操作是对两个信号滑动乘积进行累加，当累加区间大于任意信号周期，就可能对一个信号周期外的值进行重复累加。
解决卷积缠绕的方法就是在傅里叶变换（或反变换前）进行0填充处理，0填充使得信号周期不小于卷积区间，从而避免了卷积缠绕。
2）振铃
使用0填充可以避免卷积缠绕，但可能产生振铃现象。
公式 使用频域乘积进行滤波处理，其等价操作为空间域的卷积 
。
当 H(u,v) 为理想低通滤波器（盒函数），其反傅里叶变换 h(x,y) 包含无限震荡频率，无限震荡频率使得在卷积时必然产生振铃现象。
如果对其进行0填充以避免卷积缠绕，必然对 f(x,y）信号截断， 对截断后的 f(x,y) 变换到频率域，发现之前的盒函数在边缘上出现了震荡，使振铃现象更加严重。
综上描述，对于理想低通滤波器，振铃现象不可避免，如果0填充以避免卷积缠绕将使得振铃现象更加明显。
一个折中方案就是对图像进行0填充，但不对滤波器进行填充， 由于图像0填充在一定程度降低了卷积缠绕的影响，
同时由于图像0填充使得理想低通滤波器引起的振铃现象减弱，从而得到相对理想的结果。
一个更好的方案是使用高斯低通滤波器，由于高斯函数的傅里叶变换（或反傅里叶变换）均为高斯函数，高斯函数没有震荡周期，故天然没有振铃现象。
仅需要对图像0填充以避免卷积缠绕即可得到较好的滤波结果。
通过讨论，可以得到频域滤波的完整步骤如下：
1）将给定一幅 M*N 的图像 f(x,y) 0填充为 2M*2N 的图像 
；
2）对 
乘以 平移到中心，并对器进行傅里叶变换 
；
3）使用滤波器滤波 
；
4）对滤波后频率进行反傅里叶变换 
，
其中，real 表示取反傅里叶变换的实部，这是因为数值计算过程中不可避免的误差而导致虚部寄生分量，
抵消到傅里叶变换前的平移到中心操作；
5）从 
中取左上 M*N 图像即为滤波后结果。
2 低通滤波器
1）理想低通滤波器（ILPF）
理想低通滤波器定义为 
，D(u,v) 为 (u,v) 到中心点距离，
由于理想低通滤波器为一盒函数，其空域卷积核存在震荡特性，这使得理想低通滤波天然存在振铃现象。
2）布特沃斯低通滤波器（BLPF）
布特沃斯低通滤波器定义为 
，当 n 越大时，布特沃斯滤波器越接近理想滤波器，
因此，变换到空间域后其卷积核的震荡性随着 n 增大而增大。
当 n=1 时，变换到空间域其卷积核没有震荡，但其频率截止曲线过于平滑，图像平滑效果较差。
当 n=2 时，变换到空间域其卷积核有轻微震荡，但其产生的振铃现象不大，同时具有较好的平滑性，因此 n=2 可作为一个折中方案，
使用不同的截止频率 
，可以控制图像平滑程度，达到不同滤波效果。
3）高斯低通滤波器（GLPF）
高斯低通滤波器定义为 
， 为滤波截止频率。
由于高斯函数的傅里叶变换（或反傅里叶变换）均是高斯函数，因此，其卷积核没有振铃现象。
综上，似乎高斯低通滤波器是最优的选择，一般情况下这个结论是正确的。
但是由于2阶布特沃斯低通滤波器具有更陡峭的频率截止曲线，同时其振铃现象较小，
在一些需要对频率严格分割的情况下，2阶布特沃斯低通滤波器应该是一个较好的选择。
理想低通滤波器会产生较严重的振铃现象，因此一般都不是一个较好的选择！
3 高通滤波器
有了低通滤波器，对其进行适当取反操作，即可以得到合适的高通滤波器。
1）理想高通滤波器（IHPF）
理想高通滤波器定义为 
，
同样的，由于其反傅里叶变换具有震荡性，因此同样会产生振铃现象，这一般不是一个好的的选择。
2）布特沃斯高通滤波器（BHPF）
布特沃斯高通滤波器定义为 
,
2阶布特沃斯高通滤波器的反傅里叶变换具有可以接受的较小震荡性，这是一个高通滤波的选择。
3）高斯高通滤波器（GHPF）
高斯高通滤波器定义为 
，
高斯高通滤波器的反傅里叶变换没有震荡特性，因此滤波后不会产生振铃，这是一个好的高通滤波选择。
参考资料 Digital Image Processing Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods
