高斯函数

1 高斯函数积分在无穷区间上积分为1

    高斯函数  在无穷区间上积分为 ，

    为了简便，可先求函数  的积分，证明如下：

    令 ，则 ，

    整理得 ，

    令 ，使用极坐标变换得 ，

    先对 积分，令 ，则 ，

    替换变量得 

    将 T 带入  得 ，

    因此 。

    对高斯函数积分表示为  ，

    令 ，，

    使用 y 替换 x 得 ，

    由于 ，因此上式值为 1，结论得证。

 

2 高斯函数的傅里叶变换仍为高斯函数

    令 ，其傅里叶变换为 ，

    令 ，带入上式得  ，

    将指数部分配方成变量 x 的完全平方和，就可以得到类似  的结构，

    ，

    令 ，，带入上式得 ，

    由于 ，有 ，

    令 ，有 ，

    由于高斯函数  的系数为常数，积分后保持不变，

    因此有 ，其傅里叶变换仍为高斯函数。