线性化近似

1 一阶线性近似

    函数 f(x) 的一阶导数为 ，使用较小变化量代替微分量得  ，令 ，，

    进一步整理得 ，当已知 ，则可以求解  的一阶近似解为 y。

 

2 求解近似解

    1）函数 ，求解 f(11) ？

          已知 f(9) = 3，使用线性近似得 。

    2）函数 ，求解 f(.99) ?

          已知 f(1) = 0，使用线性近似得 。

 

 3 常用函数的一阶近似(x 在 0 附近）

    

    

    

    

    

 

 4 一阶线性近似误差

    原函数使用泰勒级数展开为 ，

    误差函数可表示为 ，

     由于   远大于 ，误差函数可近似表达为 ，

     当  时，线性近似值低于真实值；当  时，线性近似值高于真实值。

 

5 雅可比矩阵

   当函数输入输出变量均为向量时，已知 ，求解  附近  的线性近似值？

   类似的，有 ，其中  表示函数  在  处的一阶偏导构成的矩阵，即为雅可比矩阵。

   令 ，，函数   可改写方程组 ，

   分别求解方程组中每一个函数的一阶近似为 ，

   整理成矩阵形式为  ，，

    附近  的线性近似值可表示为 。

 

6 牛顿法求解方程

   给定方程 f(x) = 0，由于并不是每一个方程都可以轻松求解准确解，可以使用牛顿法求解近似解。方法如下：

   1）找到一个猜测解，记录为 ，给出该点处线性方程为 ；

   2）寻找线性方程在 X 轴上交点位置 ，一般情况下，该交点位置是方程 f(x) = 0 的一个更好的近似解；

   3）重复 2）直到  足够接近 0 为止。

   牛顿法并不一定能够迭代出足够精确的解，当第一个猜测解位置较远时，可能无法得到一个正确的解。猜测解的主要原则是猜测解与真实解区间的一阶导数符号一致，且比较接近。

   以下某些情形，可能导致牛顿法失效，主要包括：

   1） 接近 0，迭代过程   使得  无限远离 ；

   2）f(x) = 0 存在多个解，使得收敛解与期望解不一致；

   3）其他一些无限循环情况；

   总之，在迭代过程中需要判断迭代解收敛情况，根据收敛情况判断是否可以通过牛顿法寻找近似解。

 

7 高阶近似

   使用一阶线性近似时，其误差值为 ，为了得到一个更加精确的近似值，可以使用二阶近似，公式如下：

   ，其近似误差为 。

   令 ， ，

    一阶近似可表示为 , 对函数求导数得  ，由于 ，得 ；

    二阶近似可表示为 ，对函数求二阶导数得 ，由于 ，得 ；

    同理，可以求得N阶近似各项系数为 。

 

   参考资料 The Calculus Lifesaver  Adrian Banner