矩阵QR分解
1 orthonormal 向量与 Orthogonal 矩阵
orthonormal 向量定义为 ,任意向量 相互垂直,且模长为1;
如果将 orthonormal 向量按列组织成矩阵,矩阵为 Orthogonal 矩阵,满足如下性质:
;
当 为方阵时,为其逆矩阵;当 为长方形矩阵时,为其左逆;
当矩阵 Q 为正交矩阵时,对向量变换变换前后点积不发生改变,,证明如下:
,当 x = y 时,有 。
对任意向量 b ,可以分解为一组正交向量的线性组合,,要求解系数x,可先写成矩阵形式:
,, ;
因此,向量 b 可分解为 。
2 Gram-Schmidt 与 QR 分解
对矩阵 ,可以将其转换为正交矩阵 ,方法如下:
1)向量 方向保持不变,将其长度归一化, ;
2)向量 可分解为向量 投影分量与垂直于向量 的两分量,剔除投影分量得 ,;
3)同理,剔除向量 在 , 上投影分量得 , ;
4)依照如上方法,可以对所有向量完成正交化。
以上处理可以使用矩阵表示,矩阵 Q 为矩阵 A 的列进行线性变换结果,故可写为 A=QR 。
1)向量 与向量 具有相同方向,故可表示为 ;
2)向量 被分解为 方向向量,可表示为 ;
3)向量 被分解为 方向向量,可表示为 ;
4)综上表示为矩阵形式 。
3 求解 Ax=b
使用 Gram-Schmidt 可将矩阵 A 转换为正交矩阵 Q,正交矩阵 Q 可简化 Ax=b 运算:
1)最小二乘法求解 ;
2)带入 得 ,化简得 ;
3)不管长方形矩阵还是方阵,都有 ,故上式可化简为 ;
4)由于 R 为上三角矩阵,使用回代法即可求解。
4 函数空间
向量 QR 分解可以推广到函数,向量内积表示各分量乘积之和,对于连续函数可表示为 ,
函数长度可表示为 ,使用函数内积与函数长度定义,可以对函数按向量投影方法进行类似分解。
1)最小二乘法求解近似函数
给定函数 ,求解在区间 上的二阶近似函数 。
a. 令 ,表示在区间 上,对于任意 都有 ;
b. 使用最小二乘法得 , ;
c. 转换为积分得 ,可求解 k, b 。
2)Legendre polynomials
以上方程 使用高斯消元法求解,但随着多项式次数增加,消元法会产生很大的截断误差。
使用 Gram-Schmidt 方法,将各个多项式基转换为正交函数,可以简化运算。
设原始多项式基为 ,可做如下变换:
a. 保持第一个函数方向不变,对长度进行归一化处理,;
b. 函数 x 与函数 1 在区间 上正交,故仅需对长度归一化,;
c. 函数 与函数 x 和 1 在区间 上均不正交,减去投影分量使其正交,
,,
带入求解得 ;
d. 使用同样方式求得 , 。
通过以上函数基,任意多项式可以改写为以上函数基的线性组合。当仅使用几个低阶函数基表示时,类似线性代数投影近似。
对给定函数 ,求解在区间 上的二阶近似函数 使用多项式函数基求解如下:
函数 在 上投影为:
;
整理得 。
3)傅里叶级数
函数的傅里叶级数使用三角函数为基线性展开,三角函数是互相正交的,当进一步对其归一化后构成一组函数基。任意函数被三角函数分解为:
,对应系数为函数与归一化三角函数内积
,。
参考资料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang
Gram-Schmidt for functions: Legendre polynomials S. G. Johnson, MIT course 18.06