点扩散函数与调制传递函数

    一个成像系统可以看作一个线性移不变系统，他将理想图像变换为我们所观察到的图像。

    相对于与实际相关的线性时不变系统，二维图像线性移不变系统不受因果约束。系统基本特性如下：

    1）

    2）

 

    1 点扩散函数

       1）冲击函数采样

          为无限冲击函数，当作用与连续函数时，有 ，推导如下：

        在  区间，有关系式 ，做如下变换

        ，，结论得证。

       根据平移性质，有 ，对两边同时积分得 

       。

       当需要对函数 f(t) 在  点采样时，可做如下卷积  。

            

       2）图像线性分解

       对于离散函数，可以写成离散冲击得线性组合 。

      对于连续函数，定义 ， 。

      当 ，，改写成积分形式为：。

      二维连续图像函数  使用二维冲击函数  线性组合为 。

      对理想二维图像 ，经过成像系统所得到的结果  是一个线性变换过程，如果  的响应为 ，则   的响应为：

      。

      以上 的响应为  描述了一个理想点经过成像系统后的变化，  被称为点扩散函数(Point Spread Function)。

      由于成像系统为线性变换，上式实际上表示了理想图像与点扩散函数的卷积结果，即 。

 

    2 调制传递函数

      点扩散函数在空域中使用卷积来描述成像系统，调制传递函数在频域使用乘积描述成像系统。

      函数  经过成像系统变换为线性变换，使用卷积表示为 。

      上式表明， 经过成像系统后其频率没有发生改变，仅改变了幅度与相位， 被称为成像系统的特征函数（类似线性代数中的特征向量）。

      同样，对于二维图像 ，特征函数  经过线性变换结果为：

      。

     在  平行线组垂直方向上，波长为  的余弦波的调制传递函数(Modulation Transfer Function) 为：

     ，使用变换  描述二维频率为  的响应幅度与相位。

 

    参考资料 Robot Vision  Berthold Klaus Paul Horn