浮点数

一 定点整数与定点小数

    定点数表示小数点位置固定的数，当小数点放置在最尾部时表示定点整数，当小数点放在在符号位右边时位定点小数。

    二进制 0111. 表示定点整数，其十进制值为 ；

    二进制 1111. 表示定点整数，其十进制值为 ；

    二进制 0.111 表示定点小数，其十进制值为  ；

    二进制 1.111 表示定点小数，其十进制值为 ；

    以上使用原码表示定点数，在计算机系统中，使用补码表示定点数，这样将减法运算转换为加法运算，具体如下：

    原码 0111. 的补码仍然为 0111.，原码 1111. 的补码为 10000. - 0111. = 1001.；

    如求十进制数 -7 的补码表示，其步骤如下：

    1）求对应正数的补码表示为 0111；

    2）对 0111 取反得 1000；

    3）对 1000 加 1 得到 -7 的补码表示为 1000 + 1 = 1001；

    应用以上规则，可以推导出 7 的补码，其结果与正数补码定义保持一致，如下：

    1）对 -7 的补码 1001 取反得 0110；

    2）对 0110 加 1 得 0111，结果与正数补码定义保持一致；

    针对定点小数，其补码求解方式与定点整数一致，如下：

    1）原码1.111 其补码为：0.111 取反得 1.000 加 1 得 1.001； 

     2）1.001 取反得 0.110 加 1 得 0.111，结果与正数补码保持一致；

    当对定点数（定点整数或定点小数）进行加法运算时，如果两个运算数符号不一致（最高位符号），其运算结果不会溢出；如果两个运算数符号一致，当运算结果符号发生改变，则溢出。可以通过比较运算前后符号变化来判断是否溢出，示例如下：

    7 + 7 = 0111 + 0111 = 1110，最高位符号发生改变，则溢出。

    一个更方便得方法是使用两位符号判断是否溢出，当两位符号不同时，表示溢出；当两位符号相同时，表示无溢出。

 

二 浮点数表示

    浮点数使用科学计数法，将特定长度得连续字节（32位 或者  64位）分割成不同区域，分别表示符号，指数，尾数三个部分，具体如下：

    单精度（float）    符号位（1位）+ 指数（8位）+ 尾数（23位）

    双精度 (double)   符号位（1位）+ 指数（11位）+ 尾数（52位）

    1）符号位使用 0 表示数据为正，使用 1 表示数据为负；

    2）尾数一般情况下取值范围为 [1.0, 2），由于整数部分始终为 1 ，故省略掉；

    3）指数部分取值范围为 [-126, 127]（针对单精度），使用偏置量表示负数，如指数 -1 表示为 -1 + 127 = 126；

    下面使用单精度浮点表示 -158.4：

    1）正整数部分 158 表示为二进制 1001 1110；

    2）小数部分 .4 可表示为 0110 0110 0110 0110...，方法如下：

         .4 * 2 = .8    0

         .8 * 2 = 1.6  1

         .6 * 2 = 1.2  1

         .2 * 2 = .4    0

         .4 * 2 = .8    0

         ... ...

    3）连接正整数部分与小数部分得 1001 1110. 0110 0110 0110 0110...；

    4）规格化尾数得 1.001 1110 0110 0110 0110 0110...，其指数为 0111(十进制数 7)；

    5）对指数使用偏置得 127 + 7 = 0111 1111 + 0111 = 1000 0110；

    7）整合符号位，规格化尾数，偏置后指数得到单精度浮点表示为：1，1000 0110，001 1110 0110 0110 0110 0110；

    将单精度浮点数  1，1000 0110，001 1110 0110 0110 0110 0110 转换为10进制得 -158.39990234375，这是浮点运算中误差来源之一。通过使用双精度浮点，可以减小表示误差，但同样无法消除表示误差。计算机表示得浮点数实际上是整个实数集得一个有限子集，双精度只是比单精度能够表示得浮点数更加多一些而已。

 

三 浮点数误差

    浮点数误差来源包括：

    1）浮点表示时与真实值之间存在误差，双精度浮点误差小于单精度浮点；

    2）浮点数计算时，小阶浮点需要与大阶浮点对阶，右移小阶尾数可能产生舍入误差；

    在程序中，应该避免浮点数误差所产生得负面影响。一般策略包括：

    1）控制两相加数得阶差，避免舍入误差；

    2）必要时使用双精度浮点以减少表示误差；

    3）避免双精度浮点转换到单精度浮点所产生的表示误差；

 

    在 float.h 中定义了 

    #define FLT_EPSILON      1.192092896e-07F        // smallest such that 1.0+FLT_EPSILON != 1.0

    #define DBL_EPSILON      2.2204460492503131e-016 // smallest such that 1.0+DBL_EPSILON != 1.0

    当某个浮点数小于 FLT_EPSILON 或者 DBL_EPSILON 时，该浮点数无法对相加结果产生影响，因此，可以使用该方法来判断浮点相等，如：

    if(fabs(num - .1) < FLT_EPSILON) 表示浮点变量 num 与 .1 相等；

    当然，由于任意实数被最终转换为一个计算机可表示的浮点值，对于相同转换规则，直接使用 == 判断浮点相等是可行的；在不同硬件体系结构中，是否存在差异，可能需要进一步讨论。