Haar小波分析
一 尺度函数与小波函数
基本尺度函数定义为：
，对其向右平移任意 k 个单位，构成函数族 
， 该函数族在 
空间中正交，证明如下：
1 
；
2 当 m 不等于 k 时，
函数族 
构成一组正交基，并形成 
子空间。在 
子空间中，任意函数均可表示为 
的线性组合，
。
将函数族 
构造宽度缩小一半，则可形成宽度为 
的一组正交基，
，同样，该函数族在 空间中正交，并形成 
子空间。在 
子空间中，任意函数均可表示为 
的线性组合，
。
通过以上举例可得：设 j 为非负整数，j 级函数子空间可表示为 
，其对应正交基包括：
，观察 
中 
可有 
中 
线性组合（
中任意函数均可用 
中函数线性组合表达），则 
为 
得子空间。各个子空间之间存在如下关系：
。
使用不同子空间 
中尺度函数得线性组合，可以阶梯近似任意连续函数。在噪声滤除应用中，需要提取一些属于 
（高频信息）但不属于 
（低频信息）的方法，小波函数即描述了这部分信息，也即小波函数描述 
相对于 
的正交补空间。根据以上描述，小波函数应该满足一些特性：
1 小波函数仍然位于 
空间中，则他应该是 
空间基函数的线性组合；
2 小波函数位于 
子空间中，则它应于 
正交。
空间的基本小波函数表示为：
，该函数位于 
空间，且与 
正交。同样对小波函数向右平移 k 个单位，构成函数族：
，该函数族在 空间中正交。
空间的基本小波函数表示为：
，该函数族在 空间中正交。
使用尺度函数与小波函数，可以将 
空间中函数进行分解：
，其中 
为 空间中的小波函数，继续以上分解，可得：
二 Haar分解
1 将函数离散化为 
，该函数位于 
空间中；
2 由于 
，可以将 
空间中该函数分解为 
（更平滑尺度函数） 与 
（小波函数），根据尺度函数与小波函数定义，有如下关系：
（根据图形可验证结论正确），进一步有：
；
3 观察到 
分解方式不一致，需要将原函数改写为：
；
4 对改写后的 
分别使用更平滑尺度函数与对应小波函数再次改写，有：
，整理得：
；
5 令 
，继续分解直到 
，可得：
，其中，
为相应的小波分量。
三 Haar重构
1 函数被分解为 
， 其中，
；
2 
（根据图形可验证结论正确），进一步有：
3 
重构为 
；
4 
重构为 
；
5 
， 其中， 
由 
组合；
6 继续重构 
与 
，直到重构 
。
参考资料 小波与傅里叶分析基础 Albert Boggess & Francis J. Narcowich
