最短路总结

              <h1>最短路总结以及最短路衍生问题</h1>

zhw说总结想写就写...

先贴个模板

void Dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1];
    p.push({0, 1});
    st.reset(); // bitset

while (!p.empty())
{
    int ver = p.top().u;
    p.pop();

    if (st[ver]) continue;
    st[ver] = true;

    for (int i = head[ver]; i; i = ne[i])
    {
        int v = to[i], w = we[i];
        if (dist[v] > dist[ver] + w)
        {
            dist[v] > dist[ver] + w
            p.push({dist[v], v});
        }
    }
}


while (!p.empty())
{
    int ver = p.top().u;
    p.pop();

    if (st[ver]) continue;
    st[ver] = true;

    for (int i = head[ver]; i; i = ne[i])
    {
        int v = to[i], w = we[i];
        if (dist[v] > dist[ver] + w)
        {
            dist[v] > dist[ver] + w
            p.push({dist[v], v});
        }
    }
}
}

多起点单终点问题（往返）

这种题为最短路的简单变形，处理方法就是建反图：各边全部反向，权值不变。然后从唯一的终点出发即可。

P1629 邮递员送信 该题为纯模板。

P1821 [USACO07FEB] Cow Party S 接近模板题。

多重权值的最短路类问题

该类问题就是在单权值的模板上的变形（单源最短路仅一个权值）。我们通常会对这些权值有一个排序，例如第一、第二关键字等。而这种问题的处理也是非常的简单，仅仅修改上文模板的更新操作即可。

若第二重权值记为 $w$，则上述的更新代码改为以下这种：

if (dist[v] > dist[u] + w)
{
    dist[v] = dist[u] + w;
    p.push({dist[v], v});
}
else if (dist[v] == dist[u] + w && ...)
{
    // do sth.
    p.push({dist[v], v});
}

P3115 [USACO15JAN]Cow Routing S 模板题：费用为第一关键字，坐的飞机数为第二关键字。这道题其实还可以当分层图做。

这里还拿另一种题目与这一类做区分。

P1462 通往奥格瑞玛的道路 该问题不属于这一类：因为它的第二关键字权值是合法性而非最优性要求，因而不可直接放入状态。该题正解为二分。

边太多的单源单权值问题

减小边的数量的方法各异，这里举几个例子：

P3831 [SHOI2012]回家的路 直接建边边数太多，但是我们发现很多站点是交叉不换乘的（没用的），也就是说：只要这个点不是终点我们就不会下车，那这时就可以忽略这些节点，只连接换乘站即可。同时注意换乘站、起点与终点有多个方向可以到达与出发。

与拓扑的结合的最短路问题

由于拓扑排序的性质：是一种统计DAG（有向无环图）中性质的一种算法，通常用于路径计数、图上 $dp$ 等。例如P4017 最大食物链计数，就是通过拓扑排序实现的（也可以用种类并查集）。因而我们可以进行以下的几种操作：

1. 统计路径。

2. 满足某些条件的最短路问题。

最短路计数问题

我们在进行单源最短路过程中，通常只统计了最短路径长度，但是没有考虑最短路径是什么，以及最短路的计数问题。

如果只是单纯的求解最短路径是什么，我们可以考虑在最短路更新操作里加上这么一步：

  pre[v]=u;

因为执行该步操作后，我们给每个被更新的到节点一个更新的来源：从 $u$ 更新到这里的。如果以后有别的更优的点，那么 $pre$ 数组内的值也会随之改变。而最终访问这条路径的时候，只需要从终点开始依次向前迭代遍历即可。

但是通常最短路径不止一条，而且我们也不只是满足于遍历一个路径，我们要求求出所有的最短路径条数。这个就是和拓扑排序相结合。

P1144 最短路计数 这道题为最短路计数问题的模板题。建立最短路图，然后拓扑排序即可。

咕咕咕.....