矢量基础

基本矢量操作

• \(A\cdot B=AB\cos \theta\)
• \(A \times B=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\ A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}\)
• 矢量三重积 \(\displaystyle \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{a}\cdot \vec{c})-\vec{c}\cdot (\vec{a}\cdot \vec{b})\)
• 标量三重积 \((\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=(\vec{b}\times \vec{c})\cdot \vec{a}=(\vec{c}\times \vec{a})\cdot \vec{b}=V_{abc}\)

间隔矢量

在电动力学中我们会经常遇到涉及两点的问题，典型的有，一个源点,即电荷所处位置，及场点(我们要计算电场和磁场的地方)。很值得在一开始就引入一表示从源点到场点的间隔矢量。

间隔矢量示意图

1.1 数量场

\[F(x,y,z,t)为标量 \]

• 等值面 \(F(x,y,z,t)=y_0\)
• 梯度 \(divF=\)

2 矢量基本运算

图1 标量三重积示意图

2.3

3 矢量微积分

哈密顿算子

哈密顿算子^[1]（Hamiltonian），数学符号为▽，读作Nabla。它是一个矢量微分算子，可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算。

展开/收起证明过程

Finally We define some relationships between the gradient, divergence and curl

附录

参考内容

1. Matthews的
   Vector Calculus 第四章

脚注

---

1. 它是由爱尔兰数学家威廉·罗温·哈密顿（William Rowan Hamilton）在19世纪提出的 ↩︎