储能元件和暂态分析
储能元件
电容(Capacitors)
$$
\begin{tikzpicture}[]
\node[] (A) at (0,0) {};
\node[] (B) at (4,0) {};
\node (a) at (1,1) {};
\node (b) at (3,1) {};
\node (c) at (1,-1) {};
\node (d) at (3,-1) {};
\node at (0.7,0.5) {$+Q$};
\node at (3.3,0.5) {$-Q$};
\node at (0.7,-0.5) {$S$};
\node at (3.3,-0.5) {$S$};
\draw[semithick] (a) to (c);
\draw[semithick] (b) to (d);
\draw (A) to (1,0);
\draw (B) to (3,0);
\draw[] (A) circle (0.10) (B) circle (0.1);
\draw[-latex] (1,-0.5) to (3,-0.5);
\draw[-latex] (3,-0.5) to (1,-0.5);
\node[below] at (2,-0.4) {$d$};
% \fill[pattern={Lines[angle=45,yshift=-.5pt,distance=3pt]}](1,1) rectangle (3,-1);
\end{tikzpicture}
$$
\[\oint{\vec{D}\cdot \vec{\mathrm{d}{S}}}=D \Delta S=\frac{Q}{S}\Delta S \tag{1.1.1}
\]
假设是线性均匀场，所以可以得到
\[E=\frac{S}{\epsilon}=\frac{Q}{\epsilon S}\implies U=\int_{A}^B{E\mathrm{d}{l}}=\frac{QD}{\epsilon S} \tag{1.1.2}
\]
定义不变量电容\(C\)
\[C=\frac{Q}{U}=\frac{\epsilon d}{d} \hspace{0.2cm} (\mathrm{F}) \tag{1.1.3}
\]
给出电压电流的表达形式（关联参考方向下）
\[\begin{align}
i&=\frac{\mathrm{d}{Q}}{\mathrm{d}{t}}=C \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{t}} \tag{1.1.4} \\
U&=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{+\infty}i\mathrm{d}{t}=U(0)+
\frac{1}{C}\int_{0}^{+\infty}i\mathrm{d}{t}
\tag{1.1.5}
\end{align}
\]
接下来我们在关联参考方向上考虑其能量[假设\(u(-\infty)\thickapprox 0\)]：
\[\begin{align*}
P&=\pm ui=(\pm u) \cdot \left[\pm C \frac{\mathrm{d}{u}}{dt} \right] \tag{1.1.6}
\\ W(t)&=\int_{-\infty}^{t}{P\mathrm{d}{t}}=C\int_{-\infty}^{t}{u\mathrm{d}{u}}=\frac{1}{2}Cu^2(t)=\frac{Q^2(t)}{2C} \tag{1.1.7} \\
\end{align*}
\]
- 直流的话\(i=0\)，相当于开路。
记忆元件，储能元件，\(t\)时刻存储的能量仅与\(u(t)\) 有关。- 电流\(i\)与参考方向有关，但是
功率没有。
对于电流关联为正，非关联为负
这和我们对电容\(C\)的定义和对电动势方向的理解有关系，在我们的推导过程中，场强的方向（电势下降的方向）和电荷转移的方向是一致的，所以参考方向的话，我们得到的电流会是正值。
电容的串并联
- 串联通过他们的电流相等,所以\(Q(t)=\int_{0}^{t}{i}\mathrm{d}t\) 相同。
- 并联的话，\(i_T=\sum_{n}i_j\implies Q_T=\sum_{n}Q_j\)
电感
电感同样是储能元件，只不过跟电容存储电场能量不一样，它存储的是磁场的能量。
在带有磁心或是不带磁心的线圈中通以电流，会在线圈内部和周围形成磁场。这种元件（见图11.16）被称做电感器。
并且我们可以知道电感的值为
\[L=\frac{\mu N^{2} A}{l}=\mu_rL_0
\]
式中, \(\mu\) 是磁导率, 单位为 \(\mathrm{Wb} / \mathrm{A} \cdot \mathrm{m}\) ; N 是线圈匝数; A 是磁心的横截面积, 单位为 \(\mathrm{m}^{2}\) ; \(l\)是线圈长度, 单位为 \(\mathrm{m}\) ; \(L\)是电感值, 单位为\(\mathrm{H}\)。
下面我们求解其感生电压：
\[e=N \frac{\mathrm{d}{ \Phi}}{\mathrm{d}{t}}=N \frac{\mathrm{d}{\Phi}}{\mathrm{d}{i}} \frac{\mathrm{d}{i}}{\mathrm{d}{t}}=L \frac{\mathrm{d}{i}}{\mathrm{d}{t}}
\]
其和电流感应电流公式类似，其他参数结果也类似，请自行推导，略去证明。
电感的串并联
展开/收起证明过程
其实方法和上面是类似的，对于串联:\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}{i_j}}{\mathrm{d}{t}}\)都相等，所以有
\[L_{总}=\frac{\sum{v_j}}{\frac{\mathrm{d}{i_j}}{\mathrm{d}{t}}}=\sum\left[ L_j \right]
\]
对于并联,电压都相等：
\[\frac{1}{L_{总}}=\frac{\sum{\frac{\mathrm{d}{i_j}}{\mathrm{d}{t}}}}{v} =\sum{\frac{1}{L_j}}
\]
附录
| \(m\) | \(\mu\) | \(n\) | \(p\) |
|---|---|---|---|
| \(10^{-3}\) | \(10^{-6}\) | \(10^{-9}\) | \(10^{-12}\) |
单位表
| 单位 | 说明1 | 说明2 |
|---|---|---|
| 库伦\(\hspace{0.2cm} \mathrm{C}\) | 电荷量\(Q\)的单位 | \(1C=6.242 \times 10^{18}\text{电子}\) |
| 法拉利\(\hspace{0.2cm} \mathrm{F}\) | 电容\(C\)的单位 | |
| 特斯拉\(\hspace{0.2cm} \mathrm{T}\) | 磁感应强度B的单位 | \(1 \mathrm{T}=1 \mathrm{Wb}\) |
| 韦伯\(\hspace{0.2cm} \mathrm{Wb}\) | 磁通量的单位 |
