数据结构与算法之美学习笔记：第八讲
一、引子
浏览器的前进、后退功能，我想你肯定很熟悉吧？
当你依次访问完一串页面a-b-c之后，点击浏览器的后退按钮，就可以查看之前浏览过的页面b和a。当你后退到页面a，点击前进按钮，就可以重新查看页面b和c。但是，如果你后退到页面b后，
点击了新的页面d，那就无法再通过前进、后退功能查看页面c了。
假设你是Chrome浏览器的开发工程师，你会如何实现这个功能呢？
这就要用到我们今天要讲的“栈”这种数据结构。带着这个问题，我们来学习今天的内容。
二、如何理解栈
1、栈的特点
1、后进者先出，先进者后出，这就是典型的“栈”结构。
2、栈是一种“操作受限”的线性表，只允许在一端插入和删除数据。
2、和数组链表的比较
1、相对数组和链表，栈带给我的只有限制，并没有任何优势。
2、那我直接使用数组或者链表不就好了吗？为什么还要用这个“操作受限”的“栈”呢？
3、为什么需要栈
事实上，从功能上来说，数组或链表确实可以替代栈，但你要知道，特定的数据结构是对特定场景的抽象，
而且，数组或链表暴露了太多的操作接口，操作上的确灵活自由，但使用时就比较不可控，当然也就更容易出错。
所以当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据，并且满足后进先出、先进后出的特性，我们就应该首选“栈”这种数据结构。
三、如何实现一个栈
1、基于数组实现
// 基于数组实现的顺序栈
public class ArrayStack {
private String[] items; // 数组
private int count; // 栈中元素个数
private int n; //栈的大小
// 初始化数组，申请一个大小为n的数组空间
public ArrayStack(int n) {
this.items = new String[n];
this.n = n;
this.count = 0;
}
// 入栈操作
public boolean push(String item) {
// 数组空间不够了，直接返回false，入栈失败。
if (count == n) return false;
// 将item放到下标为count的位置，并且count加一
items[count] = item;
++count;
return true;
}
// 出栈操作
public String pop() {
// 栈为空，则直接返回null
if (count == 0) return null;
// 返回下标为count-1的数组元素，并且栈中元素个数count减一
String tmp = items[count-1];
--count;
return tmp;
}
}
2、复杂度分析
解了定义和基本操作，那它的操作的时间、空间复杂度是多少呢？
不管是顺序栈还是链式栈，我们存储数据只需要一个大小为n的数组就够了。在入栈和出栈过程中，只需要一两个临时变量存
储空间，所以空间复杂度是O(1)。
注意，这立存储数据需要一个大小为n的数组，并不是说空间复杂度就是O(n)。因为，这n个空间是必须的，无法省掉。所以
我们说空间复杂度的时候，是指除了原本的数据存储空间外，算法运行还需要额外的存储空间。
空间复杂度分析是不是很简单？时间复杂度也不难。不管是顺序栈还是链式栈，入栈、出栈只涉及栈顶个别数据的操作，所以时间复杂度都是O(1)。
四、支持动态扩容的顺序栈
1、如何实现动态扩容的顺序栈
是如何来实现一个动持动态扩容的数组的吗？
当数组空间不够时，我们就重新申请一块更大的内存，将原来数组中数据统统拷贝过去。这样就实现了一个支持动态扩容的数组。
所以，如果要实现一个动持动态扩容的栈，我们只需要底层依赖一个支持动态扩容的数组就可以了。
当栈满了之后，我们就申请一个更大的数组，将原来的数据搬移到新数组中。我画了一张图，你可以对照着理解一下。
2、出入栈复杂度分析
对于出栈操作来说，我们不会涉及内存的重新申请和数据的搬移，所以出栈的时间复杂度仍然是O(1)。
- 但是，对于入栈操作来说，情况就不一样了。
- 当栈中有空闲空间时，入栈操作的时间复杂度为O(1)。
- 但当空间不够时，就需要重新申请内存和数据搬移，所以时间复杂度就变成了O(n)。
3、摊还分析法
对于出栈操作来说，最好情况时间复杂度是O(1)，最坏情况时间复杂度是O(n)。那平均情况下的时间复杂度又是多少了？
为了分析的放便，我们需要事先做一些假设和定义：
- 栈空间不够时，我们重新申请一个是原来大小两倍的数组；
- 为了简化分析，假设只有入栈操作没有出栈操作；
- 定义不涉及内存搬移的⼊栈操作为simple-push操作，时间复杂度为O(1)。
如果当前栈大小为K，并且已满，当再有新的数据要入栈时：
1、就需要重新申请2倍大小的内存，并且做K个数据的搬移操作，然后再入栈。
2、但是，接下来的K-1次入栈操作，我们都不需要再重新申请内存和搬移数据，所以这K-1次入栈操作都只需要一个simple-push操作就可以完成。
3、为了让你更加直观地理解这个过程，我画了一张图。
你应该可以看出来
1、这K次入栈操作，总共涉及了K个数据的搬移，以及K次simple-push操作。将K个数据搬移均摊到K次入栈操作，
2、那每个入栈操作只需要一个数据搬移和一个simple-push操作。以此类推，入栈操作的均摊时间复杂度就为O(1)。
通过这个例子的实战分析
1、也印证了前面讲到的，均摊时间复杂度一般都等于最好情况时间复杂度。
2、因为在大部分情况下，入栈操作的时间复杂度O都是O(1)，只有在个别时刻才会退化为O(n)，
3、所以把耗时多的入栈操作的时间均摊到其他入栈操作上，平均情况下的耗时就接近O(1)。
五、栈在函数调用中的应用
我们知道，操作系统给每个线程分配了一块独立的内存空间，这块内存被组织成“栈”这种结构,用来存储函数调用时的临时变量。
每进入一个函数，就会将临时变量作为一个栈帧入栈，当被调用函数执行完成，返回之后，将这个函数对应的栈帧出栈。
为了让你更好地理解，我们一块来看下这段代码的执行过程：
int main() {
int a = 1;
int ret = 0;
int res = 0;
ret = add(3, 5);
res = a + ret;
printf("%d", res);
reuturn 0;
}
int add(int x, int y) {
int sum = 0;
sum = x + y;
return sum;
}
从代码中我们可以看出：
1、main()函数调用了add()函数，获取计算结果，并且与临时变量a相加，最后打印res的值。
2、为了让你清晰地看到这个过程对应的函数栈里出栈、入栈的操作，我画了一张图。图中显示的是，在执行到add()函数时，函数调用栈的情况。
六、栈在表达式求值中的应用
实际上，编译器就是通过两个栈来实现的。其中一个保存操作数的栈，另一个是保存运算符的栈。
我们从左向右遍历表达式，当遇到数字，我们就直接压入操作数栈；当遇到运算符，就与运算符栈的栈顶元素进行比较较。
1、如果比运算符栈顶元素的优先级高，就将当前运算符压入栈；
2、如果比运算符栈顶元素的优先级低或者相同，从运算符栈中取栈顶运算符，
3、从操作数栈的栈顶取2个操作数，然后进行计算，再把计算完的结果压入操作数栈，继续比较。
我将3+5*8-6这个表达式的计算过程画成了一张图，你可以结合图来理解我刚讲的计算过程。
七、栈在括号匹配中的应用
除了⽤栈来实现表达式求值，我们还可以借助栈来检查表达式中的括号是否匹配。
我们同样简化一下背景：
1、我们假设表达式中只包含三种括号，圆括号()、中括号[]和花括号{}，并且它们可以任意嵌套。
2、比如，{[{}]}或[{()}([])]等都为合法格式，
3、{[}()]或[({)]为不合法的格式。
那我现在给你⼀个包含三种括号的表达式字符串，如何检查它是否合法呢？
这里也可以用栈来解决：
1、我们用栈来保存未匹配的左括号，从左到右依次扫描字符串。当扫描到左括号时，则将其压入栈中；
2、当扫描到右括号时，从栈顶取出一个左括号。如果能够匹配，比如“(”跟“)”匹配，“[”跟“]”匹配，“{”跟“}”匹配，则继续扫描剩下的字符串。
3、如果扫描的过程中，遇到不能配对的右括号，或者栈中没有数据，则说明为非法格式。
当所有的括号都扫描完成之后，如果栈为空，则说明字符串为合法格式；否则，说明有未匹配的左括号，为非法格式
八、解答开篇
好了，我想现在你已经完全理解了栈的概念。我们再回来看看开篇的思考题，如何实现浏览器的前进、后退功能？
其实，⽤两个栈就可以非常完美地解决这个问题。
1、我们使用两个栈，X和Y，我们把首次浏览的页面依次压入栈X，
2、当点击后退按钮时，再依次从栈X中出栈，并将出栈的数据依次放入栈Y。
3、当我们点击前进按钮时，我们依次从栈Y中取出数据，放入栈X中。当栈X中没有数据时，那就说明没有页面可以继续后退浏览了。
4、当栈Y中没有数据，那就说明没有面可以点击前进按钮浏览了。
比如你顺序查看了a，b，c三个页面，我们就依次把a，b，c压入栈，这个时候，两个栈的数据就是这个样子
当你通过浏览器的后退按钮，从页面c后退到页面a之后，我们就依次把c和b从栈X中弹出，并且依次放入到栈Y。这个时候，两个栈的数据就是这个样子：
这个时候你又想看页面b，于是你有点击前进按钮回到b页面，我们就把b再从栈Y中出栈，放入栈X中。此时两个栈的数据是这个样子：
这个时候，你通过页面b又跳转到新的页面d了，页面c就无法再通过前进、后退按钮重复查看了，所以需要清空栈Y。此时两个栈的数据这个样子
九、内容小结
我们来回顾一下今天讲的内容：
1、栈是一种操作受限的数据结构，只支持入栈和出栈操作。后进先出是它最大的特点。
2、栈既可以通过数组实现，也可以通过链表来实现。
3、不管基于数组还是链表，入栈、出栈的时间复杂度都为O(1)。
4、除此之外，我们还讲了一种支持动态扩容的顺序栈，你需要重点掌握它的均摊时间复杂度分析方法。
十、课后思考
1. 我们在讲栈的应用时，讲到了函数调用栈来保存临时变量，为什么函数调用要用“栈”来保存临时变量呢？用其他数据结构不行吗？
因为函数调用的执行顺序符合后进者先出，先进者后出的特点。
比如函数中的局部变量的生命周期的长短是先定义的生命周期长，后定义的生命周期短；
还有函数中调用函数也是这样，先开始执行的函数只有等到内部调用的其他函数执行完毕，该函数才能执行结束。
正是由于函数调用的这些特点，根据数据结构是特定应用场景的抽象的原则，我们优先考虑栈结构。
2. 我们都知道，JVM内存管理中有个“堆栈”的概念。栈内存用来存储局部变量和方法调用，堆内存用来存储Java中的对象。
那JVM里面的“栈”跟我们这里说的“栈”是不是一回事呢？如果不是，那它为什么又叫作“栈”呢
JVM里面的栈和我们这里说的是一回事，被称为方法栈。和前面函数调用的作用是一致的，用来存储方法中的局部变量。
