题解 P1939 【【模板】矩阵加速（数列）】 矩阵快速幂

题目 

传送门

其实这一题还是挺简单的（如果你会矩阵快速幂的话）,不会的快去学啊！！！ 好啦，回归正题，下面就讲一下本蒟蒻的拙见。

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原理部分

由题知: - f[n]=f[n-1]+f[n-3]。我们只要从这个公式出发就好了。 - 我们假设有两个数组A[],B[]。

 -   A:f[3],f[2],f[1]。//A只有一行三列。

• B： //B需要手推。

      1 1 0
      
      0 0 1
      
      1 0 0
  

-如果我们让AB会有什么神奇的事发生呢？ -聪明的你一定发现了 - AB=（f[3]+f[1]+0,f[3]+0+0,f[2]+0+0） =f[4],f[3],f[2] - 这时候我们把得到的结果再乘一个B数组 - 它就神奇的变为 f[5],f[4],f[3]啦! - 我们再乘，每个f的下表就加1。 于是，我们得到结论。

(f[n],f[n-1],f[n-2])*B=(f[n+1],f[n],f[n-1])。

我们最开始知道 f[3],f[2],f[1]，把它当做A数组。
如果我们想知道f[x]的值，我们不是只要乘x-3个B就能得到答案了么。

嗯（too young too sample，哈哈），但我用递推也是推x-3次， 那我干嘛还要用矩阵加速呢？

别慌，我有矩阵快速幂！！！

虽然矩阵乘没有交换率（即A×B≠B×A），

但它有结合率啊（即（A×B）×C==A×（B×C））。

既然我们有x-3个B要乘，那我们可以先把它用快速幂求出来。

(什么，你不会快速幂，快去学啊。）

即求B^(x-3)。最后再乘A。

就可以通过减少相乘的次数来加快时间。

是不是恍然大悟了呢！

代码部分

（略丑，别怕。）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
ll p=1000000007;
struct node{
    ll map[4][4];
}e,ans;
ll t,temp,answer=0;
node mul(node a,node b)//用来两个矩阵相乘的函数
{
    node tp;
    memset(tp.map,0,sizeof(tp));
    for(int i=1;i<=3;i++)
    for(int j=1;j<=3;j++)
    for(int z=1;z<=3;z++)
    tp.map[i][j]=(tp.map[i][j]+a.map[i][z]*b.map[z][j]%p)%p;
    return tp;
}
void quick (node a,ll b)//矩阵快速幂。
{
    memset(ans.map,0,sizeof(ans));
    ans.map[1][1]=ans.map[2][2]=ans.map[3][3]=1;//设置单位矩阵，相当
                                               //与普通快速幂里的ans 
                                               //用来记录答案。
    while(b)
    {
    if(b&1)
    ans=mul(ans,a);
    a=mul(a,a);
    b=(b>>1);
   }
}
int main()
{
    memset(e.map,0,sizeof(e));
    e.map[1][1]=e.map[1][2]=e.map[2][3]=e.map[3][1]=1;//B数组的初值。
    scanf("%lld",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
      scanf("%lld",&temp);
      if(temp==1||temp==2||temp==3)//如果是求f[1],f[2]，f[3]直接输出
        {
            printf("%d\n",1);
            continue;
        }
        quick(e,temp-3);//求B^(x-3)。
    printf("%lld\n",(ans.map[1][1]+ans.map[2][1]+ans.map[3][1])%p);
//最后的A*B^(x-3)。由于只要f[x]，我们手动相乘，不再操作f[x-1]，f[x-2]。
    }
return 0;
}

 

好啦，如果您有哪里不懂的话并且不嫌弃本蒟蒻的话，可以私信我哦。

有哪里讲的不对的话dalao一定指出来哦，望dalao斧正。