平方根倒数快速算法

平方根是什么？

给定一个$x$，我想算$x^{\frac{1}{2}}$，就是在算平方根
在计算机里最常见的算法是牛顿迭代法

牛顿迭代法

平方根倒数是什么？

给定一个$x$，我想算$x^{-\frac{1}{2}}$，就是在算平方根的倒数

平时我们是如何计算的？

如果在纸上写，就是一步一步的算，先算平方根(一般就是查表法)，再求倒数；
但是大部分的数是无法在表格上查找到的
所以，这个快速算法是非常高效的

怎么个快速法？

计算机中的浮点数#

1. 假设一个数是浮点数Y
   我们可能不太清楚，它在计算机是如何存储的，但是这就是这个算法的牛逼之处，所以我尽量让大伙明白
   eg：浮点数：00111111111000000000000000000000，我们要怎么看？
2. 首先将浮点数分成这样0 0111 1111 1100 0000 0000 0000 0000 000
   其中第一位是符号位(0是正数，1是负数)，再过来的八位数(科学记数法里的指数位)，再过来23位(科学计数法的有效位数，有效位数就是指小数点前不能为0，且只能有1位，所以第一个位的范围就是1~9)

3. 好，那么好，这个数是不是就是1100 0000 0000 0000 0000 000 *10^(0111 1111)呢？
   答案是，错误；这个E的范围其实是-127~128，因为我们知道，在指数上面的负号不是说数字是负数，而是指小数点前有几个零
   那个M也是错的，之前都说了他只有代表1~9之前的数，然后后面是小数点位数，怎么会是1111 1100 0000 0000 0000 0000 000
   我们考虑一下，如果我们用二进制的科学记数法去表示数，那么我们的有效位数是不是就变成了1.xxxxx，
   而xxxxx都是由0跟1组成的序列，那么好，其实M记录的就是xxxxx序列，
   所以其实是1.1100 0000 0000 0000 0000 000 * 2^(0111 1111 - 0111 1111)，
   这里减0111 1111就是为了让E的范围是-127~128，
   所以十进制为1.1100 0000 0000 0000 0000 000 * 2^(0111 1111 - 0111 1111)=1.75 * 2 ^ 0 = 1.75

我们可以得出一个公式$Y = (1 + \frac{M}{2^{23}}) * 2^{E - 127}$，这是一个十进制表示的公式，这里有疑问的同学可以自己去搜一下为什么是这个表达式
如果你不想搜，我可以给你一个方向，把这题搞明白就知道了----->“我有10个箱子，箱子需要放苹果，此时，我想用10个箱子去表示0~ 1000数量的苹果，请问这些箱子我要如何去放苹果才能用这些箱子表示0~1000之间任意数量的苹果”（答案：1 2 4 16 32 64 128 256 512这样子装就行）

对数#

我们还得学一点点对数的知识

好嘞，看完，我们开始

1. 给你一个$y$，你要算出$y^{-\frac{1}{2}}$，我们假设$a$ = $y^{-\frac{1}{2}}$，
   取对数$log_2(a) = -\frac{1}{2}log_2(y)$，问题转到了计算机如何算一个$log_2$数
2. 用刚刚的公式：$Y = (1 + \frac{M}{2^{23}}) * 2^{E - 127}$得，
   $log_2(a) = log_2(1 +\frac{M}{2^{23}}) + (E-127)log_2(2) = log_2(1 + \frac{M}{2^{23}}) + E - 127$，
   其中$\frac{M}{2^{23}}$很小，所以利用近似思想，$log(1 + \frac{M}{2^{23}}) ≈ \frac{M}{2^{23}}$
   $log_2(a) ≈ \frac{M}{2^{23}} + E - 127$，这样就将$log_2$运算，转成了除法跟乘法了
   但是细心的同学们会发现这个形式跟浮点数的公式好像，可不可以转成浮点数的样子呢？
3. $(\frac{1}{2^{23}})(M + (2^{23}) * E) - 127$，这个$2^{23}$相当于左移了23位，刚好跟浮点数的$E$对上，这里加减不能用浮点数运算去理解，得用整数运算理解，所以$log_2(a) ≈ (\frac{1}{2^{23}})* A - 127$，$A$是$a$存储在计算机中的浮点数格式，如果这个数字按整数解读是一个相当大的数字
   所以$log_2(y)$也是一样的，所以$-\frac{1}{2}log_2(y) ≈ (\frac{1}{2^{23}})* Y - 127$，$Y$是$y$存储在计算机中的浮点数格式
   得到等式：$(\frac{1}{2^{23}})* A - 127 = (\frac{1}{2^{23}})* Y - 127$，现在问题转变成了求解A是什么数
   $A = 381 * (2^{22}) - \frac{1}{2} * Y$，$Y$是$y$存储在计算机中的浮点数格式，$381 * (2^{22})$ = $5F400000$
   $A$就是$a$存储在计算机中的浮点数格式，得到的就是一个$y^{-\frac{1}{2}}$近似解

总结：从开始的$a$ = $y^{-\frac{1}{2}}$，转成了计算机如何算一个$log_2$数，然后将$log_2$运算转成了线性运算，到最后问题转变成了求解$A$，$A$是$a$存储在计算机中的浮点数格式
注意：我这里忽略了符号位的计算
代码

//部分示例
int ksqrt (float num) {
  int const_num = 0x5F400000; //这里可以改成0x5f3759df，答案更精确
  float y = num;
  int i = * (int *) &y; //将y转成int 类型运算
  int a = const_num - (i >> 1);//右移奇数，会少了小数，相当于整除
  y = * (float*) &a;//把a变回浮点数
  //一步牛顿迭代法就够了
  //牛顿迭代的步骤
  //xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
  //f(x)如何构建？
  //y = a ^ -(1/2)
  //y^-(1/2) = a
  //y^-(1/2) - a = 0
  //构建一个f(y) = 1 / y^2 - a 
  //f(x) = 1/ x^2 - a
  y = 1.5*y - (num * 0.5) * y * y * y;
  return  y;
}

总结

这个思想最牛的地方就是将$log_2$运算转成了近似的线性运算，使得平方根倒数的求解变的简单，牛顿迭代如果最初点选择的好，就会使得运算大大减少，多思考多学习，勉励；