平方根倒数快速算法
平方根是什么？
给定一个\(x\)，我想算\(x^{\frac{1}{2}}\)，就是在算平方根
在计算机里最常见的算法是牛顿迭代法
平方根倒数是什么？
给定一个\(x\)，我想算\(x^{-\frac{1}{2}}\)，就是在算平方根的倒数
平时我们是如何计算的？
如果在纸上写，就是一步一步的算，先算平方根(一般就是查表法)，再求倒数；
但是大部分的数是无法在表格上查找到的
所以，这个快速算法是非常高效的
怎么个快速法？
计算机中的浮点数
- 假设一个数是浮点数Y
我们可能不太清楚，它在计算机是如何存储的，但是这就是这个算法的牛逼之处，所以我尽量让大伙明白
eg：浮点数：00111111111000000000000000000000，我们要怎么看？ - 首先将浮点数分成这样0 0111 1111 1100 0000 0000 0000 0000 000
其中第一位是符号位(0是正数，1是负数)，再过来的八位数(科学记数法里的指数位)，再过来23位(科学计数法的有效位数，有效位数就是指小数点前不能为0，且只能有1位，所以第一个位的范围就是1~9)
- 好，那么好，这个数是不是就是1100 0000 0000 0000 0000 000 *10^(0111 1111)呢？
答案是，错误；这个E的范围其实是-127~128，因为我们知道，在指数上面的负号不是说数字是负数，而是指小数点前有几个零
那个M也是错的，之前都说了他只有代表1~9之前的数，然后后面是小数点位数，怎么会是1111 1100 0000 0000 0000 0000 000
我们考虑一下，如果我们用二进制的科学记数法去表示数，那么我们的有效位数是不是就变成了1.xxxxx，
而xxxxx都是由0跟1组成的序列，那么好，其实M记录的就是xxxxx序列，
所以其实是1.1100 0000 0000 0000 0000 000 * 2^(0111 1111 - 0111 1111)，
这里减0111 1111就是为了让E的范围是-127~128，
所以十进制为1.1100 0000 0000 0000 0000 000 * 2^(0111 1111 - 0111 1111)=1.75 * 2 ^ 0 = 1.75
我们可以得出一个公式\(Y = (1 + \frac{M}{2^{23}}) * 2^{E - 127}\)，这是一个十进制表示的公式，这里有疑问的同学可以自己去搜一下为什么是这个表达式
如果你不想搜，我可以给你一个方向，把这题搞明白就知道了----->“我有10个箱子，箱子需要放苹果，此时，我想用10个箱子去表示0~ 1000数量的苹果，请问这些箱子我要如何去放苹果才能用这些箱子表示0~1000之间任意数量的苹果”（答案：1 2 4 16 32 64 128 256 512这样子装就行）
对数
我们还得学一点点对数的知识
好嘞，看完，我们开始
- 给你一个\(y\)，你要算出\(y^{-\frac{1}{2}}\)，我们假设\(a\) = \(y^{-\frac{1}{2}}\)，
取对数\(log_2(a) = -\frac{1}{2}log_2(y)\)，问题转到了计算机如何算一个\(log_2\)数 - 用刚刚的公式：\(Y = (1 + \frac{M}{2^{23}}) * 2^{E - 127}\)得，
\(log_2(a) = log_2(1 +\frac{M}{2^{23}}) + (E-127)log_2(2) = log_2(1 + \frac{M}{2^{23}}) + E - 127\)，
其中\(\frac{M}{2^{23}}\)很小，所以利用近似思想，\(log(1 + \frac{M}{2^{23}}) ≈ \frac{M}{2^{23}}\)
\(log_2(a) ≈ \frac{M}{2^{23}} + E - 127\)，这样就将\(log_2\)运算，转成了除法跟乘法了
但是细心的同学们会发现这个形式跟浮点数的公式好像，可不可以转成浮点数的样子呢？ - \((\frac{1}{2^{23}})(M + (2^{23}) * E) - 127\)，这个\(2^{23}\)相当于左移了23位，刚好跟浮点数的\(E\)对上，这里加减不能用浮点数运算去理解，得用整数运算理解，所以\(log_2(a) ≈ (\frac{1}{2^{23}})* A - 127\)，\(A\)是\(a\)存储在计算机中的浮点数格式，如果这个数字按整数解读是一个相当大的数字
所以\(log_2(y)\)也是一样的，所以\(-\frac{1}{2}log_2(y) ≈ (\frac{1}{2^{23}})* Y - 127\)，\(Y\)是\(y\)存储在计算机中的浮点数格式
得到等式：\((\frac{1}{2^{23}})* A - 127 = (\frac{1}{2^{23}})* Y - 127\)，现在问题转变成了求解A是什么数
\(A = 381 * (2^{22}) - \frac{1}{2} * Y\)，\(Y\)是\(y\)存储在计算机中的浮点数格式，\(381 * (2^{22})\) = \(5F400000\)
\(A\)就是\(a\)存储在计算机中的浮点数格式，得到的就是一个\(y^{-\frac{1}{2}}\)近似解
总结：从开始的\(a\) = \(y^{-\frac{1}{2}}\)，转成了计算机如何算一个\(log_2\)数，然后将\(log_2\)运算转成了线性运算，到最后问题转变成了求解\(A\)，\(A\)是\(a\)存储在计算机中的浮点数格式
注意：我这里忽略了符号位的计算
代码
//部分示例
int ksqrt (float num) {
int const_num = 0x5F400000; //这里可以改成0x5f3759df，答案更精确
float y = num;
int i = * (int *) &y; //将y转成int 类型运算
int a = const_num - (i >> 1);//右移奇数，会少了小数，相当于整除
y = * (float*) &a;//把a变回浮点数
//一步牛顿迭代法就够了
//牛顿迭代的步骤
//xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
//f(x)如何构建？
//y = a ^ -(1/2)
//y^-(1/2) = a
//y^-(1/2) - a = 0
//构建一个f(y) = 1 / y^2 - a
//f(x) = 1/ x^2 - a
y = 1.5*y - (num * 0.5) * y * y * y;
return y;
}
总结
这个思想最牛的地方就是将\(log_2\)运算转成了近似的线性运算，使得平方根倒数的求解变的简单，牛顿迭代如果最初点选择的好，就会使得运算大大减少，多思考多学习，勉励；
