P2263 命运的彼方 题解
写在前面：
- 本文使用了 FHQ_Treap 求解，若读者还不会 FHQ_Treap 可自行前往 OI Wiki 无旋 treap 学习或者跳过代码部分。
- 下文记 \(n,n-k+1\) 同阶为 \(n\)。
题目大意：
给定一个长度为 \(n\) 的序列，每次可以将其中一个数 \(+1\) 或者 \(-1\)，求最小的次数使得该序列上最少有连续 \(k\) 个相同的数。
数据范围：\(1\leq n \leq 5 \times 10^5,2 \leq k \leq n, 0 \leq H_i \leq 10^{12}\)。
题目分析：
先考虑一个长度为 \(k\) 的序列将所有数变成相同的最小次数。
不难发现，变成该序列的中位数的次数最小。
证明如下：
假设序列长为 \(2n+1\)，将序列从小到大排好，那么中位数为 \(mid=H_{n+1}\)，比中位数小的数有 \(n\) 个，比中位数大的数也有 \(n\) 个，不妨设：
那么如果将整个序列变成 \(mid\)，其代价为 \(ans_0=sumL+sumR\)。
如果将整个序列变成不是 \(mid\) 的数，例如 \(mid-1\)，其代价为
，其余同理，都能证明 \(ans_x>ans_0\)。
所以，当变成整个序列的中位数的时候，次数最小。
同理可得，当序列长为 \(2n\) 时，将序列从小到大排好，那么中位数为 \(mid=(H_n+H_{n+1})/2\)，证明与序列长为 \(2n+1\) 的证明相似，可以得出相同的结论。
再回到题目，显然是要在长度为 \(n\) 的序列中枚举每一个长度为 \(k\) 的区间求出对应的最小次数 \(res_i=\sum_{j=i}^{i+k-1} |H_j-mid_i|\)，那么最终的答案为 \(ans=\min_{i=1}^{n-k+1} res_i\)，瓶颈在于如何快速求动态区间的中位数（动态 kth）。
想到这里，可以感觉到有点与平衡树沾上边了，我们可以先把区间 \([L_1,R_1]\) 预处理放在平衡树上，每次求区间 \([L_i,R_i]\) 的答案时，只需要删除 \(H_{L_{i-1}}\) 以及增加 \(H_{R_{i}}\) 即可，这里选用了 FHQ_Treap 按权值分裂求解。
每一次将平衡树分裂成三部分：\([L,mid-1],(mid-1,mid],(mid,R]\)，此时 \(siz_L\) 就是小于中位数的个数，\(siz_R\) 就是大于中位数的个数，那么
其余与 FHQ_Treap 模板一致，注意本题数据会超 int，记得开 long long。
（不过真的不建议跟我一样懒打了 #define int long long）
时间复杂度：\(O(n \log n)\)，由于 FHQ_Treap 自带较大常数所以跑得有点慢了。
Tip：本代码不开 O2 似乎是跑不过去的（TLE 90pts），建议优化常数或者开 O2。
Code：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long//记得开 long long !!!
#define ls(u) t[u].ls
#define rs(u) t[u].rs
using namespace std;
const int N=5e5+5;
const int INF=1e18;
int n,k,root,cnt;
int a[N],ans=INF;//初始值赋一个较大值
struct FHQ_Treap
{
int ls,rs;
int val,sum;
int pri,siz;
}t[N];
void update(int u)
{
t[u].siz=t[ls(u)].siz+t[rs(u)].siz+1;
t[u].sum=t[ls(u)].sum+t[rs(u)].sum+t[u].val;
}
int newNode(int x)
{
int u=++cnt;
t[u].ls=t[u].rs=0;
t[u].val=t[u].sum=x;
t[u].pri=rand();
t[u].siz=1;
return u;
}
void split(int u,int x,int &L,int &R)
{
if(!u)
{
L=R=0;
return;
}
if(t[u].val<=x)//按权值分裂
{
L=u;
split(rs(u),x,rs(u),R);
}
else
{
R=u;
split(ls(u),x,L,ls(u));
}
update(u);
}
int merge(int L,int R)
{
if(!L||!R) return L|R;
if(t[L].pri>t[R].pri)
{
t[L].rs=merge(t[L].rs,R);
update(L);
return L;
}
else
{
t[R].ls=merge(L,t[R].ls);
update(R);
return R;
}
}
void insert(int x)//插入
{
int L,R;
split(root,x,L,R);
root=merge(merge(L,newNode(x)),R);
}
void del(int x)//删除
{
int L,R,p;
split(root,x,L,R);
split(L,x-1,L,p);//分成 [L,mid-1],(mid-1,mid],(mid,R]三部分
p=merge(t[p].ls,t[p].rs);//只删除等于 x 的一个数
root=merge(merge(L,p),R);
}
int kth(int u,int k)//求排名为 k 的值在平衡树上的位置
{
if(k==t[ls(u)].siz+1) return u;
if(k<=t[ls(u)].siz) return kth(ls(u),k);
if(k>t[ls(u)].siz) return kth(rs(u),k-t[ls(u)].siz-1);
}
int query(int x)
{
int L,R,p;
split(root,x,L,R);
split(L,x-1,L,p);
int ans=t[L].siz*x-t[L].sum+t[R].sum-t[R].siz*x;//详细证明在上面已提到
root=merge(merge(L,p),R);
return ans;
}
signed main()
{
srand(time(0));
scanf("%lld%lld",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=0;i<k;i++)//预处理将 [0,k) 插入平衡树
insert(a[i]);
for(int i=k;i<=n;i++)
{
int mid;
del(a[i-k]),insert(a[i]);//区间 [L,R]
//分类讨论
if(k&1) mid=t[kth(root,k/2+1)].val;//若 k 为奇数，mid=a[k/2+1]
else mid=(t[kth(root,k/2)].val+t[kth(root,k/2+1)].val)/2;//若 k 为偶数，mid=(a[k/2]+a[k/2+1])/2
int res=query(mid);
if(res<ans)
ans=res;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
写在后面：
update 24/8/13：修改了部分 \(\LaTeX\) 公式，让其排版更加舒服（bushi）。
