疯子的算法总结(一) 位运算(快速幂、快速乘)

一、预备知识(补码,反码)

计算机通过二进制表示整形数,比如int型32位有符号整形数:
1表示为:0000…00001(共32位)
-1表示为:1111…1111(共32位)
补码计算法定义:非负数的补码是其原码本身;
负数的补码是其绝对值的原码最高位符号位不变,其它位取反,再加1。
表示原因:计算机逻辑运算没有减法,-1+1最高为溢出,剩余0000000000(32位)即为0;
则有a-b=a+b的(补码);
计算方式
-1表示原码为100…0001(32位),最高位位符号位。
-1的反码表示为:1111…110(32位),除符号位按位取反。
-1的补码表示为:1111…1111(32位),反码+1。
正数的补码为自己本身。
例子:
100的补码‭00000000000000000001100100‬
-30的补码 11111111111111111111111100010‬
100+(-30)=000000000000000000‭01000110‬
转换成10进制为70;

二、基本操作

1、按位与(&)

参加运算的两个数,换算为二进制(0、1)后,进行与运算。只有当相应位上的数都是1时,该位才取1,否则该为为0。

将10与-10进行按位与(&)运算:

0000 0000 0000 1010
1111 1111 1111 0110
0000 0000 0000 0010

所以:10 & -10 = 0000 0000 0000 0010
2、按位或(|)

参加运算的两个数,换算为二进制(0、1)后,进行或运算。只要相应位上存在1,那么该位就取1,均不为1,即为0。

将10与-10进行按位或(|)运算:

0000 0000 0000 1010
1111 1111 1111 0110
1111 1111 1111 1110

所以:10 | -10 = 1111 1111 1111 1110
3、按位异或(^)

参加运算的两个数,换算为二进制(0、1)后,进行异或运算。只有当相应位上的数字不相同时,该为才取1,若相同,即为0。

将10与-10进行按位异或(^)运算:

0000 0000 0000 1010
1111 1111 1111 0110
1111 1111 1111 1100

所以:10 ^ -10 = 1111 1111 1111 1100
可以看出,任何数与0异或,结果都是其本身。利用异或还可以实现一个很好的交换算法,用于交换两个数,算法如下:

a = a ^ b;
b = b ^ a;
a = a ^ b;

4、取反(~)

参加运算的两个数,换算为二进制(0、1)后,进行取反运算。每个位上都取相反值,1变成0,0变成1。
对10进行取反(~)运算:

0000 0000 0000 1010
1111 1111 1111 0101

所以:~10 = 1111 1111 1111 0101
5、左移(<<)

参加运算的两个数,换算为二进制(0、1)后,进行左移运算,用来将一个数各二进制位全部向左移动若干位。

对10左移2位(就相当于在右边加2个0):

0000 0000 0000 1010
0000 0000 0010 1000

所以:10 << 2 = 0000 0000 0010 1000 = 40
注意,观察可以发现,左移一位的结果就是原值乘2,左移两位的结果就是原值乘4。

6、右移(>>)

参加运算的两个数,换算为二进制(0、1)后,进行右移运算,用来将一个数各二进制位全部向右移动若干位。

对10右移2位(就相当于在左边加2个0):

0000 0000 0000 1010
0000 0000 0000 0010

所以:10 >> 2 = 0000 0000 0000 0010 = 2
注意,观察可以发现,右移一位的结果就是原值除2,左移两位的结果就是原值除4,注意哦,除了以后没有小数位的,都是取整。

三、延伸操作

1.快速幂(快速模幂)
①求a^b:

int pow(int a, int k)  { 
    int ans = 1;
    while(k)  {
        if(k &1)  ans *= a;   //判断奇偶只用判断最后一位比取模快
        a *= a;
        k >>=1;		//比除法快多了
    }
    return ans;
}

②求a^b%p

int pow_mod(int a, int k,int mod)  { 
     int ans = 1%mod;
     while(k)  {
         if(k &1)  ans =(long long) ans*a%mod;  //防止在对P取模前溢出
         a = (long long)a*a%mod;
         k >>=1;  //比除法快多了
     }
     return ans;
 }

例题:BZOJ1008
2.快速乘法
方法①

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long ans=0;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;  //(计算机加法比乘法快,a+a比a*2快)
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

方法②:高效算法

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod)
{
    a%=mod;
    b%=mod;
    long long  ans=0;
    while(b){
        if(b&1){
            ans+=a;
            if(ans>=mod)
               ans-=mod;
        }
        b>>=1;
        a<<=1;
        if(a>=mod)  a-=mod;
    }
   return ans;
}

方法③:使用long double优化版

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod)
{
    a%=mod;
    b%=mod;
    long long c=(long double) a*b/mod;
    long long ans=a*b-c*mod;
    if(ans<0) ans+=mod;
    else if(ans>=mod) ans-=mod;
    return ans
  }

在这里仅提到部分操作,在ACM学习中,还有更多的操作可以用位运算。

posted @ 2019-06-04 18:03  风骨散人  阅读(141)  评论(0编辑  收藏  举报