数学--数论--康托展开与逆康托展开
康托展开
可以理解为把一个全排列映射到一个数上面,因为全排列如果按照从小到大或者从大到小,肯定是有一个确定的序列的。
一般是从小到大的序列个数。我们就是要求出这个序列的位置。,想法很简答,就是求出前面比他小的个数就可以了。
理解为一个每位都是阶乘进位的数转化为10进制的数。思路如下:
先准备求每一位的阶乘,然后从高位开始统计后面有多少个数比他小记录这个个位数,然后乘以后面个数的阶乘,再把它累加起来。
x[i]表示第i位后面比他小的个数,那么
这样就能求出比他小的有多少个了,也能求出他是第几个序列。
//求出阶乘 void init(){ Fac[0] = 1; for(int i=1;i<=N;++i){ Fac[i] = Fac[i-1]*i; } } int kangtuo(int n,char a[]) { int i,j,t,sum; sum=0; for( i=0; i<n ;++i) { t=0; for(j=i+1;j<n;++j) if( a[i]>a[j] ) ++t; sum+=t*fac[n-i-1]; } return sum+1; }
逆康托展开
相当于知道序列位置求这个位置的数。
想法也很简单,因为对于每位的Fac[N-i]都比后面说有的和都大,所以用pos/Fac[N-1]求得的就是x[i],同理pos%Fac[N-i]就是后面的和。
我们维护一个序列st始终按照从小到大排列,那么已知某位置的x[i],那么这个位置的数就是st[x[i]+1]。
void init(){ Fac[0] = 1; for(int i=1;i<=N;++i){ Fac[i] = Fac[i-1]*i; } } void reverse_kangtuo(int n,int k,char s[]) { int i, j, t, vst[8]={0}; --k; for (i=0; i<n; i++) { t = k/fac[n-i-1]; for (j=1; j<=n; j++) if (!vst[j]) { if (t == 0) break; --t; } s[i] = '0'+j; vst[j] = 1; k %= fac[n-i-1]; } }
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