数学--数论--莫比乌斯函数
定义:
默比乌斯函数或缪比乌斯函数是指以下的函数 :
性质:
我们之前就提到过,莫比乌斯是积性函数,必然满足积性函数的性质
积性函数
性质1:
性质2:
莫比乌斯函数值求法:
1.单个函数值:
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
//计算a是否可以mod b
int MOD(int a,int b)
{
return a-a/b*b;
}
//计算莫比乌斯函数
//如果一个数包含平方因子,那么miu(n)=0
//如果哟个数不包含平方因子,且有k个不同的质因子,那么miu(n)=(-1)^k
int miu(int n)
{
int cnt,k=0;
for(int i=2;i*i<n;i++)
{
if(MOD(n,i))
{
continue;
}
cnt=0;
k++;
while(MOD(n,i)==0)
{
n/=i;
cnt++;
}
if(cnt>=2)
{
return 0;
}
}
if(n!=1)
{
k++;
}
return MOD(k,2)?-1:1;
}
int main()
{
ll n;
cin>>n;
cout<<miu(n)<<endl;
return 0;
}
2.线性筛:
/*
* 莫比乌斯反演公式
* 线性筛法求解积性函数(莫比乌斯函数)
*/
const int MAXN = 1000000;
bool check[MAXN + 10];
int prime[MAXN + 10];
int mu[MAXN + 10];
void Moblus()
{
memset(check, false, sizeof(check));
mu[1] = 1;
int tot = 0;
for (int i = 2; i <= MAXN; i++)
{
if (!check[i])
{
prime[tot++] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 0; j < tot; j++)
{
if (i * prime[j] > MAXN)
{
break;
}
check[i * prime[j]] = true;
if (i % prime[j] == 0)
{
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
}
else
{
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
}