初等数论-02-同余式
同余
\(n\)为自然数，\(a,b\)为任意两个整数，如果\(n|a-b\)，我们就称\(a\)与\(b\)模\(n\)同余，记作\(a \equiv b(modn)\)
模\(n\)同余具有自反性、对称性、传递性
全体整数集合\(Z\)可按模\(n（n>1）\)被分成了\(n\)个不同的集合，这些集合被称为模\(n\)的剩余类。
若 \(a_1≡b_1(mod n)， a_2≡b_2(mod n)\)则\(a_1+a_2 ≡b_1+b_2(mod n)\)
若 \(a_1≡b_1(mod n）， a_2≡b_2(mod n)\)则\(a_1a_2 ≡b_1b_2(mod n)\)
若 \(ad≡bd(mod n)，(d，n)=1，\)则\(a≡b(mod n)\)
若$ a≡b(mod n)，d$ 是\(a，b，n\)的任一公因子，则\({a\over d}≡{b \over d}(mod {n\over d})\)
若 \(a≡b(mod ni)\)，\(i=1，…，k，\)则\(a=b(mod [n_1,…, n_k])\)
若 \(a≡b(mod n)\)，\(d|n，d＞0\)，则 \(a≡b(mod d)\)
若$ a≡b(mod n)，则(a，n)= (b，n)$
同余方程
给定整数\(a，b\)，正整数\(m\)，求整数x，使 \(ax≡b(mod m)\)
这称为解同余方程问题，上述方程称为同余方程
在\(a=1\)时，\(x=b+km(k\)为任意整数）是同余方程$ x≡b(mod m）$的所有解。
同余方程组
由形如\(a_ix≡b_i(mod m_i)，i=1，… , r\)，同余方程所组成的方程组：
其中，\(a_i，b_i\) 为整数，$ m_i$为自然数， \(i=1，… , r\)。
关于解的判定及求解
定理：设\(m_1\)和\(m_2\)为正整数，\(m\)是\(m_1\)和\(m_2\)的最小公倍数，则同余方程组：
有解的充分必要条件为\((m_1，m_2)|(a_1-a_2)\)。
如果这一条件成立，则方程组有且仅有一个小于$ m$的非负整数解。
中国剩余定理
定理：设自然数\(m_1,m_2,…m_r\)两两互素，并记\(m=m_1m_2…m_r=m_iM_i ，M_i=m_1…m_{i-1}m_{i+1}…m_r，i=1，…，r\)，则同余方程组的解为 \(x≡M_1’M_1b_1+…+M_r’M_rb_r mod(m)\)
其中，\(M_{i’}\)是整数，使得\(M_{i’}M_i=1mod(m_i) ，i=1，…，r\)。
该方程组有且仅有一个小于\(m\)的非负整数解
剩余类环
设\(m\)是一个自然数，任一整数用\(m\)除所得的余数必为\(0，1，…, m-1\)中的一个，所有用\(m\)除所得的余数为\(i （i=0， 1，…, m-1 ）\)的整数组成的集合，记为\([ i ]\)，这样对于整数集\(Z\)，我们可以表示为：
\(Z=[0] ∪[1] ∪[2] ∪… ∪[m-1]\)
性质
\([ i ]\)中的任意两个整数都是模m同余的
\([ i ]\)中的整数与\([ j ]\)\(（i≠j\)中的整数是\(m\)不同余的
集合\([ i ]\)就称为模\(m\)的一个剩余类，剩余类\([ i ]\)中任意一个整数\(i’\)都可代表剩余类\([ i ]\)，即\([ i ]= [ i’ ]\)。
在\(m\)的一个剩余类中，如果一个整数与\(m\)互素，那么这个剩余类中的所有数均与\(m\)互素。
关于完全剩余类的结果**
定理：若\((m1，m2)=1，\)如果\(x\)遍历\(m_1\)的一个完全剩余系，\(y\)遍历\(m_2\)的一个完全剩余系，那么\(m_1y+m_2x\)遍历的\(m_1m_2\)的一个完全剩余系
完全剩余系
定义：模\(m\)共有\(m\)个整余类，即\([0]，[1]，…，[m-1]\), 如果我们从这$m个剩类中的每一个中，任取一个代表元 \(a_1，a_2，…,a_m，a_i ∈[i-1] （i=1，2，…，m ）。a_1，a_2，…,a_m\)就称为模\(m\)的一个完全剩余类。
通常我们取\(0，1，2，…, m-1\)为完全剩余系。
剩余类环
定义：取正整数\(m\)，设\(Z_m=\{[0]，[1]，…,[m-1]\}\)。在\(Z_m\)上
我们定义两个运算\(+\)和\(·\)如下：
\([i]+[j]=[i+j]， [i]·[j]=[i·j]，-[j]=[-j]\)
运算性质
对运算\(+\)
\([i]+[j]=[j]+[i]，([i]+[j])+[k]=[i]+([j]+[k])
[i]+[0]=[0]+[i]=[i], [i]+[-i]=[0]\)
对运算\(·\)
\([i]·[j]=[j]·[i],([i]·[j])·[k]=[i]·([j]·[k])\)
分配率
\([i]·([j]+[k])=[i]·[j]+[i]·[k]\)
缩剩余系
给定正整数\(m\)，模\(m\)的剩余类集合\(Z_m=\{[0]，[1]，…,[m-1]\}\)中与\(m\)互素的剩余类为\(k\)个，不妨设为\([i_1]，…， [i_k]\)。
从\([i_1]，…，[i_k]\)这\(k\)个剩余类中的每一个剩余类，取一个代表元\(a_{i_1}，…， a_{i_k}\)，其中\(a_{i_j}∈[ i_j ]（j=1， 2，…,k）\)。这\(k\)个代表元\(a_{i_1}，…， a_{i_k}\)，我们就称为模整数\(m\)的缩剩余系，简称缩系
关于缩剩余系的结果
定理：若\(（m_1，m_2）=1\)，如果\(x\)遍历\(m_1\)的一个缩系，\(y\)遍历\(m_2\)的一个缩系，那么\(m_1y+m_2x\)遍历的\(m_1m_2\)的一个缩系
