初等数论-01-整数的因子分解

带余除法

设 $a, b$ 为整数， $b > 0$ ,则存在唯一整数 $q$ 和 $r$ 使得：

a = q b + r, 0 \leq r < b

带余除法又称欧几里得除法。

整除

定义

如果余数 $r = 0$ , 那么, 我们就称 $b$ 整除了 $a$ , 记作 $b | a$ ; 这时我们也称 $b$ 是 $a$ 的因子, $a$ 是 $b$ 的倍数。(如果余数 $r \neq 0$ , 我们就称 $b$ 不能整除 $a$ , 记作: $b ∤ a$ )
(1)如果 $b | a$ , 且 $b \neq 1$ 和 $b \neq a$ , 则称 $b$ 是 $a$ 的真因子
(2)当 $b$ 是 $a$ 的因子时, 则存在 $q$ 使得 $a = q * b = (- q) (-) b$ , 这时 $- b$ 也是 $a$ 的因子
(3)为了简便, 整数的因子, 总假定为正整数

性质

设 $a > 0, b > 0, c > 0$ 则
(1) 若 $c | b$ , $b | a$ , 则 $c | a$
(2) 若 $b | a$ , 则 $b c | a c$
(3) 若 $c | a$ , $c | b$ , 则对任意整数 $m$ , $n$ 有 $c | m a + n b$

整数的表示

$a$ 进制表示
设 $a$ 为大于 $1$ 的整数，任意正整数 $n$ 可以表示为：
$n = r_{0} + r_{1} a + r_{2} a^{2} + \dots + r_{t} a^{t},$
其中， $t \geq 0, 0 \leq r_{i} < a, i = 0, 1, \dots$
称为 $n$ 的 $a$ 进制表示
如何求正整数 $n$ 的 $a$ 进制表示
第一步求 ${q_{i}}$ ：利用带余除法
用 $a$ 去除 $n$ ， $n = q_{0} a + r_{0}, 0 \leq r_{0} < a$
用 $a$ 去除 $q_{0}$ ， $q_{0} = q_{1} a + r_{1}, 0 \leq r_{1} < a$
$\dots$
用 $a$ 去除 $q_{i}$ ， $q_{i} = q_{i + 1} a + r_{i + 1}, 0 \leq r_{i + 1} < a$
直到 $q_{t} < a$
$n = q_{0} a + r_{0}$
$= (q_{1} a + r_{1}) a + r_{0}$
...
$= (q_{t - 1} a + r_{t - 1}) a^{t - 1} + r_{t - 2} a^{t - 2} + \dots + r_{1} a + r_{0}$
$= q_{t - 1} a^{t} + r_{t - 1} a^{t - 1} + \dots + r_{1} a + r_{0}$

最大公因子与辗转相除法

公因子：设 $a, b$ 是两个非零整数， $d$ 为正整数，若 $d | a, d | b$ ,则称 $d$ 为 $a$ 和 $b$ 的公因子
最大公因子：设 $a, b$ 是两个非零整数， $d$ 为正整数，若：
（1） $d | a, d | b$ ,
（2）对 $a$ 和 $b$ 的任意公因子 $e$ ,皆有 $e | d$
则称 $d$ 为 $a$ 和 $b$ 的最大公因子，记为 $(a, b)$ 。
$n$ 个整数的公因子：设 $a_{1}, . . ., a_{n}$ 是n个非零整数， $d$ 为正整数，若 $d | a_{i}, 1 \leq i \leq n$ ,则称 $d$ 为 $a_{1}, . . ., a_{n}$ 的公因子
$n$ 个整数的最大公因子：设 $a_{1}, . . ., a_{n}$ 是n个非零整数， $d$ 为正整数，若：（1） $d | a_{i}, i = 1, 2, . . ., n$ ，（2）对任意正整数 $e$ ,若 $e | a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 则 $e | d$
则称 $d$ 为 $a_{1}, . . ., a_{n}$ 的最大公因子，记为 $(a_{1}, . . ., a_{n})$ 。
定理A：设a、b、c为三个正整数，且：

a = b q + c,

其中 $q$ 为整数，则 $(a ， b) = (b ， c)$
定理B：设 $a_{1} ， \dots ， a_{n}$ 是 $n$ 个整数，令：

(a_{1} ， a_{2}) = d_{1} ， (d_{1} ， a_{3}) = d_{2} ， \dots ， (d_{n - 2} ， a_{n}) = d_{n - 1}

则 $(a_{1} ， \dots ， a_{n}) = d_{n - 1}$ 。

欧几里得辗转相除法

利用带余除法依次有：
$a = q_{0} b + r_{0}, 0 \leq r_{0} < b$
$b = q_{1} r_{0} + r_{1}, 0 \leq r_{1} < r_{0}$
$r_{0} = q_{2} r_{1} + r_{2}, 0 \leq r_{2} < r_{1}$
如此下去
$r_{i - 2} = q_{i} r_{i - 1} + r_{i}, 0 \leq r_{i} < r_{i - 1}, i = 3, 4, . . .$
这样我们便得到一个递减的序列 $r_{i}$ ，
即： $r_{0} > r_{1} > r_{2} . . . ⩾ 0$ ,
也就是说到某一步（比如第n步）有 $r_{n} = 0$
这时我们就有 $r_{n - 2} = q_{n} r_{n - 1}$ ，即 $r_{n - 1} | r_{n - 2}$
利用定理A：
$(a, b) = (b, r_{0}) = (r_{0}, r_{1})$
$= \dots = (r_{i - 1}, r_{i}) = \dots = (r_{n - 3}, r_{n - 2})$
$= (r_{n - 2}, r_{n - 1}) = r_{n - 1}$

辗转相除法的拓展

辗转相除法的进一步扩展
分析上述辗转除法可以发现：
$r_{0} = a - q_{0} b = x_{0} a + y_{0} b (x_{0} = 1, y_{0} = - q_{0})$
$r_{1} = b - q_{1} r_{0} = q_{1} a + (1 + q_{0} q_{1}) b = x_{1} a + y_{1} b (x_{1} = q_{1}, y_{1} = 1 + q_{0} q_{1})$
利用归纳逆推法，不难发现对任意 $r_{i} (0 \leq i \leq n - 1)$ ，都存在 $x_{i}, y_{i}$ 满足： $r_{i} = x_{i} a + y_{i} b$ 。
而且 $r_{i} = r_{i - 2} - q_{i} r_{i - 1} = x_{i - 2} a + y_{i - 2} b - q_{i} (x_{i - 1} a + y_{i - 1} b) = (x_{i - 2} - q_{i} x_{i - 1}) a + (y_{i - 2} - q_{i} y_{i - 1}) b$
$x_{i} = x_{i - 2} - q_{i} x_{i - 1}, y_{i} = y_{i - 2} - q_{i} y_{i - 1}$ + $X_{- 2} = 1, X_{- 1} = 0, Y_{- 2} = 0, Y_{- 1} = 1$
$(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})$
$(a, b) = r_{n - 1} = x_{n - 1} a + y_{n - 1} b$

定理：对任意两个（正）整数 $a$ ， $b$ ，都存在整数 $x$ ， $y$ ，使得：
$(a, b) = x a + y b$
推论：(1) 设 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的任一公因子，则 $d | (a, b)$
(2) 设 $a_{1}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 是 $n$ 个整数，则存在整数 $u_{1}$ ， $\dots$ ， $u_{n}$ 满足：
$(a_{1}, \dots, a_{n}) = u_{1} a_{1} + \dots + u_{n} a_{n}$

整数的唯一分解定理

素数：一个大于 $1$ 的正整数 $p$ ，如果仅以 $1$ 和它自身作为其因子，则称 $p$ 为素数
复合数：大于 $1$ 的非素的自然数，称之为复合数
互素：给定两个整数 $a ， b$ ，如果 $(a ， b) = 1$ ，则称 $a ， b$ 互素
关于素数的结果
定理A：设 $p$ 为素数， $a ， b$ 为整数，若 $p l a b$ ，则 $p l a$ 或 $p l b$ 。
定理B:(唯一分解定理)
任一不为 $1$ 的正整数 $n$ 均可唯一的表示为: $n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} p_{3}^{a_{3}} \dots p_{t}^{a_{t}}$
这里 $p_{1} < p_{2} < p_{3} < \dots < p_{t}$ , $a_{1}, \dots, a_{t}$ 为自然数,上式称为 $n$ 的标准分解式
正整数 $n$ 分解的存在性,正整数 $n$ 分解的唯一性