抽象代数-11-域和域的扩张

域

基本定义

定义：若$R$是一个环，并且$R^{\ast }=R\setminus \{0\}$对于乘法构成一个交换群，则称$R$为一个域。
定义：交换除环叫作域。
定理：域一定是整环。
定理：有限整环一定是域。
定义：只包含有限个元素的域称为有限域，其元素个数称为该域的阶。有限域又叫作伽罗瓦域(Galois field)。

分式域

包含一个整环的最小域为分式域
一个域$F$称为一个整环$D$的分式域，如果$F$包含$D$，且$F=\{a{b}^{-1}|a,b\in D\}$
即$D$中任意一个非零元在$F$中有逆元
记作$F(D)$
$a{b}^{-1}+c{d}^{-1}=(ad+cb)(bd{)}^{-1},(a{b}^{-1})(c{d}^{-1})=(ac)(bd{)}^{-1}.$
域F中的每一个元素$a{b}^{-1}$代表的是一个集合，即$a{b}^{-1}=\{(c,d)|(a,b)(c,d),a,b,c,d\in D\}$,这里$$为等价关系，即：$(a,b)(c,d)\iff ad=bc$

域的特征与素域

素域

设$(K,+,\cdot )$是域，$F$是$K$的非空子集，且$(F，+，·)$也是域，则称$F$是$K$的子域$(subfield)$，$K$是$F$的扩域$(extensionfield)$，记作$F\le K$。
设$S$是域$F$中的一个非空子集，则包含$S$的最小子域，称为由$S$生成的子域，记作$(S)$。由元素$1$生成的子域称为素域(prime field).
一个域被称为素域，如果它不含有真子域。
例如：有理数域$Q$,素数$p$ 域$Z_p$

域的特征

记加法阶$0^{+}(1)$
定理 设F是域，则元素1在(F，+)中的阶数或为某个素数p，或为无穷大.
定义 设F是域，若元素1在(F，+)中的阶数为素数p，则称p为域F的特征，若元素1在(F，+)中的阶数为无穷大，则称F的特征为0，F的特征记作chF，故有
$chF=\{\begin{array}{l}p，0^{+}(1)=p,\\ 0，0^{+}(1)=\mathrm{\infty }.\end{array}$

定理 设F是域，$F_0$是F的素域，则
$F_0\cong \{\begin{array}{l}(\mathbb{Q}，+,\cdot )，chF=0，\\ \\ (Z_p，+,\cdot )，chF=p.\end{array}$

域的特征的结论

(1)域可分为两类：
①若$chF=0$，则F是$\mathbb{Q}$上的扩域，是无限域.例如数域$(R，+，·)$，$C，+，·$等都以$\mathbb{Q}$作为素域；
②若$chF=p$(素数)，则$F$是${\mathbb{Z}}_p$上的扩域，这时，$F$可以是有限域，也可以是无限域.如果$F$是有限域，则$chF$必是某个素数.
(2)若F是特征为p的域，则
(i)对任何$a\in F$有$pa=0$;
(ii)对任何$a\in F^{\ast }$，且$na=ma$，则$n\equiv m(modp)$.
(iii)对任何$a,b\in F$有$(a+b{)}^{p^e}=a^{p^e}+b^{p^e}$，e为任意正整数.
(3)$\mathrm{\forall }n\in Z$，且$p\nmid n$，$p$为素数)有
$n^{p-1}\equiv 1(modp)$.
(4)域F的乘群(F${}^{\ast }$，·)的任何有限子群都是循环群.

域的扩张

设$K$是$F$的扩域，$\mathrm{\forall }{u}_1,u_2\in K,\mathrm{\forall }a,b\in F$,有$a{u}_1+b{u}_2\in K$，把$K$中的元素看作向量，从而$K$是$F$上的一个线性空间。
将此线性空间的维数称为$k$对$F$的扩张次数，记作$(K:F)$，当其有限时称为有限扩张，否则为无限扩张。

望远镜公式

$F,K,E$为域，且$F\subseteq K\subseteq E$都是有限扩张，则

$$(E:F)=(E:K)(K:F)$$

利用向量空间中的基来证明。

代数元、超越元

设$K$是$F$的扩域，$u\in K$,若$u$是$F$上一个多项式$f(x)$的根，则称$u$是$F$上的代数元，否则称为超越元。
例如·：$e$,$\pi$是$Q$上的超越数，$1+i$是代数数。
$u$在$F$上的最小多项式(u是跟的次数最低的首1多项式)为$m(x)$,$degm(x)=r$则称$u$是$F$上的$r$次代数元,有理数域$Q$上的代数元称为代数数，超越元称为超越数。

添加元素的扩张

设$E$是$F$的扩域，$S\subseteq E$是一个非空子集，我们把包含$F$与$S$的最小子域称为$F$添加$S$所构成的扩域，记作$F(S)$。添加一个元素$u\in E$所得之扩域记作$F(u)$，称为$F$上的单扩张(simple extension)。
定理：设$E$是$F$的扩域，$u\in E$，则
$F(u)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\{a_0+a_{1}u+\dots +a_n{u}^n\mid a_i\in F\}\cong F[x]/(m(x)),\\ \mathrm{当}u\mathrm{是}F\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{代}\mathrm{数}\mathrm{元},\mathrm{且}m(x)\mathrm{是}u\mathrm{在}F\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{多}\mathrm{项}\mathrm{式},\mathrm{deg}m(x)=n,\\ \{\frac{f(u)}{g(u)}|f(x),g(x)\in F[x],g\ne 0\}\cong F(x)\mathrm{的}\mathrm{分}\mathrm{式}\mathrm{域}\\ \mathrm{当}u\mathrm{是}F\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{超}\mathrm{越}\mathrm{元}.\end{array}\end{array}$

且有
$(F(u):F)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\mathrm{deg}m(x),\text{当}u\text{是}F\text{上的代数元},m(x)\\ \text{是}u\text{在}F\text{上的最小多项式,}\end{array}\\ \mathrm{\infty },\text{当}u\text{是}F\text{上的超越元.}\end{array}$
实质上分两种情况：(1)当$u$是$F$的代数元，(2)当$u$是$F$上的超越元。

代数扩张与有限扩张

设$K$是$F$的扩域,若$K$中每一个元素都是$F$上的代数元，则称$K$是$F$上的代数扩张域，否则为超越扩张域
显然，添加代数元的扩张是代数扩张，超越元的未超越扩张。
定理：$K$是$F$上的有限扩张，则$K$是$F$上的代数扩张，逆定理不成立