抽象代数-10-环的同构与同态

同构与同态

基本定义

设$R$和$R^{\prime }$是两个环，$f$是$R$到$R^{\prime }$的一个映射，如果$\mathrm{\forall }a,b\in R$,均有:
$f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)$
则称$f$为从$R$到$R^{\prime }$的同态映射

分类

若$f$为单射，称$f$为单同态，$R≌f(R)$,称$f$将$A$同构嵌入到$R^{\prime }$中。
若$f$为满射，称$f$为满同态，记作$R{\sim }^f{R}^{\prime }$
若$f$为双射，则称$R$与$R^{\prime }$同构，记为: $R≌R^{\prime }$
通过同构映射，可以将一个环嵌入到另一个环中。
例: 设$f:Z\to Zn$,$f(m)=[m]$,则$f$是一个满同态”。

零同态

定义映射$f:x\to 0^{\prime }$$\mathrm{\forall }x\in R$ 则为同态，同态像为$f(R)=\{0^{\prime }\}$
称此同态为零同态，为任意两个环之间都存在的一个同态。

同态核

$R^{\prime }$的零元$0^{\prime }$的全原像$f^{-1}(0^{\prime })$称为$f$的同态核

$$kerf=f^{-1}(0^{\prime })=\{x\in R|f(x)=0^{\prime }\}$$

同态核是$R$的一个理想，$f$是单同态的充要条件是 $kerf=\{0\}$

未学部分内容

关于同态的定理（未学）

同态基本定理

子环对应定理

商环同构定理

第二同构定理

整环中的因子分解(未学)

既约元和素元

最大公因子

惟一分解整环（未学）

惟一分解整环及性质

主理想整环

欧氏整环