抽象代数-09-子环、理想和商环

子环

定义

设$(R,+,\cdot )$是一个环，$S$是$R$的非空子集，如果$S$关于$R$的运算也构成一个环，则称$S$为环$R$的子环
例：$(m\mathbb{Z},+,\cdot )$是整数环$\mathbb{Z}$的子环，整数环$\mathbb{Z}$是有理数环$Q$的子环等

判定

定理：设S是环R的非空子集, 则S为环R的子环的充分必要条件是: 对任意$a,b\in S$, $a-b\in S$, $ab\in S$

性质

若R是无零因子环, 则S也是无零因子环
当S是无零因子环时, R未必是无零因子环
若$R$有单位元,$S$可以没有单位元
若$S$有单位元,$R$可以没有单位元
若$R$与$S$都有单位元,它们的单位元可以不相同
例：整数环Z有单位元,其子环(偶数环)无单位元
例：$A=\{\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& 0\end{array}\right)|x,y\in R\}$,无单位元
$B=\{\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& 0\end{array}\right)|x\in R\}$,有单位元
$A=\{\left(\begin{array}{cc}x& y\\ a& b\end{array}\right)|x,y,a,b\in R\}$,有单位元
$B=\{\left(\begin{array}{cc}x& x\\ 0& 0\end{array}\right)|x\in R\}$,有单位元

理想

定义

设$(R,+,\cdot )$是一个环，$I$是$R$的一个子环，如果对任意的$a\in I$，$r\in R$，都有：$ra\in I$，我们就称$I$是$R$的一个左理想。如果有：$ar\in I$，我们就称$I$是$R$的一个右理想。同时满足称$I$是$R$的一个理想（ideal）
（1）对任意一个环R，它至少存在两个理想，即：$R$自身和$0$，称为平凡理想。
（2）$R$交换环，则左理想也是右理想。
（3）环内无非平凡理想，称这个环为单环。

生成子环与生成理想

设$R$是环，$S$是$R$的一个非空子集，则$R$的包含$S$的最小子环称为由$S$生成的子环或称为$S$的生成子环，记作$[S]$，它是$R$的包含$S$的所有子环的交。
包含$S$的最小理想称为由$S$生成的理想或称为$S$的生成理想，记作$(S)$，它是包含$S$的所有理想的交。
当$S=a$时，由$a$生成的子环可表示为
$[a]=\{\sum n_k{a}^k|n_k\in Z,k\in Z^{+}\}$.
由元素$a$生成的理想可表示为
$(a)=\{\sum xay+sa+at+na|x,y,s,t\in R,n\in Z\}$.
当$R$有单位元时
$(a)=\{\sum xay|x,y\in R\}$.
当$R$为交换环时
$(a)=\{ra+na|r\in R,n\in Z\}$.
当$R$是有单位元的可换环时，$(a)$可简化为
$(a)=\{xa|x\in R\}=aR$.
显然，由单位元生成的理想就是$R$：
$(1)=R$.
在$(Z,+,\cdot )$中整数$m$的生成理想为
$(m)=\{km|k\in Z\}=mZ$.
且由循环群$(Z,+)$的性质知$(Z,+,\cdot )$中全部理想为$(m),m=0,1,2,\cdots$
在$(F[x],+,\cdot )$中元素$x$的生成理想为
$(x)=\{xf(x)|f(x)\in F[x]\}$$=\{a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n|a_i\in F,n\in Z^{+}\}$.
对环R任意一个理想I，如果它是包含元素$a\in R$的最小理想，那么理想I就称为环R的主理想，记为$(a)$。
$(a)=\{\sum x_{i}a{y}_i+sa+at+na\mid x_i,y_i,s,t\in R,n\in Z\}$

商环

设$R$是环，$I$是$R$的一个理想，则$I$是加群$(R,+)$的正规子群，$R$对$I$的加法商群为
$R/I=\{a+I|a\in R\}$.
记$\overline{a}=a+I$，在$A/I$中前面已定义过“模$I$的加法”为
$\overline{a}+\overline{b}=a+b$.
定义过“模$I$的乘法”为$\overline{a}\cdot \overline{b}=\overline{ab}$.
$R/I$称为$R$关于$I$的商环

素理想、极大理想

设P是环R的一个理想，若任意$a,b\in R$，且$ab\in P$，都有$a\in P$或$b\in P$，则称P是环R的一个素理想。
设M是环R的一个理想，若R中的任一理想I，满足：

$$I\supseteq M,I\ne M,$$

均有$I=R$，则称M是环R的一个极大理想。
定理：设R是一个有单位元的交换环，I是R的理想，则：
（1）若I是R的素理想，则R/I是一个整环；
（2）若I是R的极大理想，则R/I是一个域。